738_748im

Prueba Integral

Lapso 2013-1

Universidad Nacional Abierta
Vicerrectorado Acad´
emico
´
Area de Matem´
atica

738-748 – 1/3

Inferencia Estad´ıstica (738)
Estad´ıstica (748)
C´
od. Carrera: 236, 280 y 508
Fecha: 08-06-2013

MODELO DE RESPUESTAS
Objetivos 1 al 7.
OBJ. 1 PTA 1

Un fen´omeno f´ısico se reproduce en el laboratorio, y despu´es de varias repeticiones se observa que la
variablealeatoria X exhibe una media de 11,5 y una varianza de 9. Si la distribuci´on se desconoce, ¿ cu´
al
es el valor estimado de P (|X − 11,5| < 4)?
Soluci´on :
Como se desconoce la distribuci´
on, para estimar est´a probabilidad se aplica el Teorema de Tcebychev (ver
p´aginas 35 a 38 del material instruccional ).
As´ı,
P (|X − 11,5| < 4) = P (−4 < X − 11,5 < 4)
4
4
11,5 − (3) < X < 11,5 − (3)
3
3
1
= 7/16.≥1−
(4/3)2
=P

OBJ. 2 PTA 2

En una f´abrica metal mec´
anica, se elaboran piezas para la construcci´on que soportan en promedio una
carga cr´ıtica de 40 N w con una desviaci´
on est´andar de 2 N w. Se sabe que, para estas piezas, la resistencia
al pandeo sigue una distribuci´
on normal. ¿ Qu´e porcentaje de piezas soportaran una carga cr´ıtica superior
a los 43 N w ?
Soluci´on : Se sabe que lavariable aleatoria sigue una distribuci´on normal, por lo tanto
X − 40
43 − 40
>
2
2
= P (Z > 1,5).

P (X > 43) = P

Al consultar la tabla correspondiente se tiene que, P (Z > 1,5) = 0,0668 por lo tanto el porcentaje de
piezas que soportan una carga cr´ıtica superior a 43 N w es 6,68 %.

Elaborado por: Prof. Gilberto Noguera

´
Area
de Matem´
atica

Validado por: Profa. Carla De Pinho
Evaluado por:Profa. Florymar Robles

Prueba Integral

Lapso 2013-1

738-748 – 2/3

OBJ. 3 PTA 3

Sea X la cantidad de veneno que puede absorber un artr´opodo antes de morir. Suponga que X sigue una
distribuci´on normal, con media de 1,5 ml y desviaci´on est´andar de 0,2 ml.
(a) ¿ Por arriba de cu´
al dosis apenas sobrevive el cinco por ciento de estos animales ?
(b) Interpretar el resultado del literal (a).Nota: Se considera logrado el objetivo si se responde de manera correcta los dos literales.
Soluci´on :
(a) Se pide calcular una dosis x0 tal que P (X ≥ x0 ) = 0,05. Como X ∼ N (1,5; 0,04) se tiene que,
X − 1,5
x0 − 1,5
≥
0,2
0,2

P (X ≥ x0 ) = P

Z≥

=P

x0 − 1,5
0,2

= 0,05.

Usando una tabla de distribuci´
on normal se observa que para una probabilidad de 0,05 el valor de z
corresponde esaproximadamente 1,645, entonces
x0 − 1,5
= 1,645 ⇒ x0 = 1,829.
0,2
(b) Este resultado nos indica que de cada 100 individuos expuestos a 1,829 ml del veneno, en estudio,
sobrevivir´an cinco.

OBJ. 4 PTA 4

Bajo condiciones de uso continuo, un dispositivo electr´onico requiere recargar su fuente de energ´ıa cada
cierto tiempo. Sea X el tiempo medido en d´ıas entre una carga completa de la fuente energ´eticay la
descarga total de la misma, suponiendo que X sigue una distribuci´on exponencial, con par´ametro β
desconocido, ¿ cu´
al es la estimaci´
on de m´axima verosimilitud de β, si toma una muestra aleatoria de
tama˜
no n ?
Soluci´on : La funci´
on de verosimilitud esta dada por,
n

L(xi , β) =
i=1

1
1
1
exp(−xi /β) = n exp −
β
β
β

n

xi

(1)

i=1

la diferenciaci´on de ln[L(xi , β)] con respectoa β produce
d[ln(L(xi , β))]
n
1
=− + 2
dβ
β β

n

xi

(2)

i=1

Al igualar (??) a cero y despejando β se tiene:
β = x.

Elaborado por: Prof. Gilberto Noguera

´
Area
de Matem´
atica

Validado por: Profa. Carla De Pinho
Evaluado por: Profa. Florymar Robles

Prueba Integral

Lapso 2013-1

738-748 – 3/3

OBJ. 5 PTA 5

En una f´abrica se elaboraron 9500 art´ıculos este mes, de los cuales 350resultaron defectuosos. ¿ Cu´
al es
el intervalo de confianza de 95 % para la proporci´on de art´ıculos defectuosos ?
Soluci´on :
Seg´
un la informaci´
on suministrada la proporci´on de art´ıculos defectuosos, p =

350
≈ 0,0368.
9500

El intervalo de confianza para la proporci´
on de la poblaci´on se calcula por medio de
p − Zα/2 Sp < p < p + Zα/2 Sp .
Usando una tabla de distribuci´
on normal de...