ACCIONES DE FIJACIÓN Y MOMENTOS DE EMPOTRAMIENTO PERFECTO

PROBLEMARIO DE ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS EN 2D Y 3D
DEDUCCIÓN DE LAS FUERZAS DE FIJACIÓN Y LOS MOMENTOS DE
EMPOTRAMIENTO PERFECTO PARA VIGAS CON CARGAS COMUNES
Ortiz David1, Molina Marcos2, Martínez Hugo1, J. Bernal Elan2, Hernández Daniel1,
García Pascual2, Berruecos Sergio1
1. Escuela Superior de Ingeniería y Arquitectura, Unidad Zacatenco, Instituto Politécnico
Nacional, Distrito Federal,México.
2. Facultad de Estudios Superiores Aragón, Universidad Nacional Autónoma de México,
Nezahualcóyotl, Estado de México.
VIGA 1.

Principio de Superposición.

(𝑑𝑒 𝑀𝐴 )

(𝑑𝑒 𝑅𝐴𝑌 )

Incompatibilidades geométricas y coeficientes de flexibilidad.
Se obtienen los momentos internos 𝑀 con base en VIF 1.
0 ≤ 𝑥 ≤ 𝐿⁄2
+ ∑ 𝑀𝑐𝑜𝑟𝑡𝑒 = 0 ⇒ 𝑀1 = 0

𝐿⁄ ≤ 𝑥 ≤ 𝐿
2
+ ∑ 𝑀𝑐𝑜𝑟𝑡𝑒 = 0

1

PROBLEMARIO DE ANÁLISIS DEESTRUCTURAS EN 2D Y 3D
𝐿
𝑃𝐿
−𝑀2 − 𝑃 (𝑥 − ) = 0 ⇒ 𝑀2 = −𝑃𝑥 +
2
2
De VIF 2, el momento interno 𝑚1 es
0≤𝑥≤𝐿

+ ∑ 𝑀𝑐𝑜𝑟𝑡𝑒 = 0
−𝑀1 + (1)(𝑥) = 0 ⇒ 𝑀1 = 𝑥

A partir de VIF 3, se formula el momento interno 𝑚2 .
0≤𝑥≤𝐿
+ ∑ 𝑀𝑐𝑜𝑟𝑡𝑒 = 0
−𝑀1 − 1 = 0 ⇒ 𝑀1 = −1

Se calculan los desplazamientos y pendientes requeridos.
𝐿⁄
2

𝐿2

𝑑1 = 𝛿𝑉𝐴 𝑉𝐼𝐹1

𝑀𝑚1
1
=∫
𝑑𝑥 = [∫
𝐸𝐼
𝐸𝐼 0
𝐿1

𝐿⁄
2

𝐿⁄
2

𝐿2

𝑑2 = 𝜃𝐴 𝑉𝐼𝐹1

𝐿

(0)(𝑥)𝑑𝑥 + ∫ (−𝑃𝑥+

𝑀𝑚2
1
=∫
𝑑𝑥 = [∫
𝐸𝐼
𝐸𝐼 0
𝐿1
𝐿2

𝑓11 = 𝛿𝑉𝐴 𝑉𝐼𝐹2 = ∫

𝐿1

𝑃𝐿
5𝑃𝐿3
) (𝑥)𝑑𝑥] = −
2
48𝐸𝐼

𝐿

(0)(−1)𝑑𝑥 + ∫ (−𝑃𝑥 +
𝐿⁄
2

𝑚1 𝑚1
1 𝐿
𝐿3
𝑑𝑥 = ∫ (𝑥)(𝑥)𝑑𝑥 =
𝐸𝐼
𝐸𝐼 0
3𝐸𝐼

𝐿2

𝑓21 = 𝜃𝐴 𝑉𝐼𝐹2

𝑃𝐿
𝑃𝐿2
) (−1)𝑑𝑥] =
2
8𝐸𝐼

𝑚1 𝑚2
1 𝐿
𝐿2
=∫
𝑑𝑥 = ∫ (𝑥)(−1)𝑑𝑥 = −
𝐸𝐼
𝐸𝐼 0
2𝐸𝐼
𝐿1
𝐿2

𝑓12 = 𝛿𝑉𝐴 𝑉𝐼𝐹3 = ∫

𝐿1

𝑚2 𝑚1
𝐿2
𝑑𝑥 = 𝑓21 = −
𝐸𝐼
2𝐸𝐼

2

PROBLEMARIO DE ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS EN 2D Y 3D
𝐿2

𝑓22 = 𝜃𝐴 𝑉𝐼𝐹3 = ∫

𝐿1𝑚2 𝑚 2
1 𝐿
𝐿
𝑑𝑥 = ∫ (−1)(−1)𝑑𝑥 =
𝐸𝐼
𝐸𝐼 0
𝐸𝐼

Sistema de ecuaciones de flexibilidades y cálculo de las redundantes.
Las ecuaciones de compatibilidad para la deflexión en 𝐴 y la pendiente en 𝐴 son,
respectivamente
𝑑1 + 𝑓11 𝑅𝐴𝑌 + 𝑓12 𝑀𝐴 = 0 − − − (1)
𝑑2 + 𝑓21 𝑅𝐴𝑌 + 𝑓22 𝑀𝐴 = 0 − − − (2)
Al sustituir los resultados en el sistema simultáneo de ecuaciones se tiene
5𝑃𝐿3
𝐿3
𝐿2
−
+
𝑅 −
𝑀 = 0 − − − (3)
48𝐸𝐼 3𝐸𝐼𝐴𝑌 2𝐸𝐼 𝐴
𝑃𝐿2
𝐿2
𝐿
−
𝑅𝐴𝑌 + 𝑀𝐴 = 0 − − − (4)
8𝐸𝐼 2𝐸𝐼
𝐸𝐼
Resolviendo el sistema resulta
𝑅𝐴𝑌 =

𝑃
2

𝑀𝐴 =

𝑃𝐿
8

Ecuaciones de equilibrio.
Las reacciones desconocidas restantes se obtienen de
+↑ ∑ 𝐹𝑌 = 0 ⇒
+ ∑ 𝑀𝐴 = 0 ⇒ −

𝑃
𝑃
− 𝑃 + 𝑅𝐵𝑌 = 0 ⇒ 𝑅𝐵𝑌 =
2
2

𝑃𝐿
𝐿
𝑃
𝑃𝐿
+ 𝑃 ( ) − (𝐿) + 𝑀𝐵 = 0 ⇒ 𝑀𝐵 =
8
2
2
8

3

PROBLEMARIO DE ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS EN 2D Y 3D
VIGA 2.

Principio de Superposición.

(𝑑𝑒 𝑀𝐴 )
(𝑑𝑒𝑅𝐴𝑌 )

Incompatibilidades geométricas y coeficientes de flexibilidad.
Con base en VIF 1 se deducen los momentos internos 𝑀.
0≤𝑥≤𝐿

+ ∑ 𝑀𝑐𝑜𝑟𝑡𝑒 = 0
𝑥
𝑊𝑥 2
−𝑀1 − 𝑊(𝑥) ( ) = 0 ⇒ 𝑀1 = −
2
2
Se retoman los momentos internos 𝑚1 y 𝑚2 de la primera deducción.
𝑚1 ⟺ 𝑀1 = 𝑥
𝑚2 ⟺ 𝑀1 = −1

0≤𝑥≤𝐿
0≤𝑥≤𝐿

Se obtienen los desplazamientos y pendientes necesarios.
𝐿2

𝑑1 = 𝛿𝑉𝐴 𝑉𝐼𝐹1

𝑀𝑚1
1 𝐿
𝑊𝑥 2
𝑊𝐿4
=∫
𝑑𝑥 = ∫ (−
) (𝑥)𝑑𝑥= −
𝐸𝐼
𝐸𝐼 0
2
8𝐸𝐼
𝐿1
4

PROBLEMARIO DE ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS EN 2D Y 3D
𝐿2

𝑑2 = 𝜃𝐴 𝑉𝐼𝐹1 = ∫

𝐿1

𝑀𝑚2
1 𝐿
𝑊𝑥 2
𝑊𝐿3
𝑑𝑥 = ∫ (−
) (−1)𝑑𝑥 =
𝐸𝐼
𝐸𝐼 0
2
6𝐸𝐼

Remítase a la viga 1 y observe que
𝑓11 =

𝐿3
3𝐸𝐼

𝑓21 = −

𝐿2
2𝐸𝐼

𝑓12 = −

𝐿2
2𝐸𝐼

𝑓22 =

𝐿
𝐸𝐼

Sistema de ecuaciones de flexibilidades y cálculo de las redundantes.
Con los resultados se plantea
−

𝑊𝐿4
𝐿3
𝐿2
+
𝑅𝐴𝑌 −
𝑀 = 0 − − − (1)
8𝐸𝐼 3𝐸𝐼
2𝐸𝐼𝐴

𝑊𝐿3
𝐿2
𝐿
−
𝑅𝐴𝑌 + 𝑀𝐴 = 0 − − − (2)
6𝐸𝐼 2𝐸𝐼
𝐸𝐼
Al resolver el sistema se obtiene
𝑅𝐴𝑌 =

𝑊𝐿
2

𝑀𝐴 =

𝑊𝐿2
12

Ecuaciones de equilibrio.
Por lo tanto,
+↑ ∑ 𝐹𝑌 = 0 ⇒
+ ∑ 𝑀𝐴 = 0 ⇒ −

𝑊𝐿
𝑊𝐿
− 𝑊𝐿 + 𝑅𝐵𝑌 = 0 ⇒ 𝑅𝐵𝑌 =
2
2

𝑊𝐿2
𝐿
𝑊𝐿
𝑊𝐿2
(𝐿) + 𝑀𝐵 = 0 ⇒ 𝑀𝐵 =
+ 𝑊𝐿 ( ) −
12
2
2
12

5

PROBLEMARIO DE ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS EN 2D Y 3D
VIGA 3.

Principio de Superposición.

(𝑑𝑒 𝑀𝐴 )
(𝑑𝑒 𝑅𝐴𝑌 )

Incompatibilidadesgeométricas y coeficientes de flexibilidad.
De VIF 1, las funciones de momento 𝑀 son
0 ≤ 𝑥 ≤ 𝐿⁄2
+ ∑ 𝑀𝑐𝑜𝑟𝑡𝑒 = 0
2𝑊
( 𝐿 𝑥) (𝑥) 𝑥
𝑊𝑥 3
−𝑀1 − [
] ( ) = 0 ⇒ 𝑀1 = −
2
3
3𝐿
La intensidad 𝑊´ se obtiene de
𝑊 𝑊´
2𝑊
=
⇒ 𝑊´ =
𝑥
𝐿
𝑥
𝐿
2
𝐿⁄ ≤ 𝑥 ≤ 𝐿
2
Se deduce la intensidad 𝑊´´.

6

PROBLEMARIO DE ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS EN 2D Y 3D
𝑊
𝑊´´
𝑊(𝐿 − 𝑥)
2𝑊
=
⇒ 𝑊´´ =
= 2𝑊 −
𝑥
𝐿
𝐿
𝐿−𝑥
𝐿
2
2

La carga...