ACT MATE


Aproximación de funciones en un punto fijo con polinomios de Taylor

En ocasiones, las funciones complicadas se pueden aproximar con otras funciones más simples, que en algunas aplicaciones dan laexactitud adecuada.

La tangente de una función (y=f(x)) en un punto fijo ( x=a)cuando la función de puede derivar y pasa por el punto ( a, f(a)) tiene como pendiente (f ‘(a)) y su ecuación es:
y=f(a)+f ‘ (a)(x-a)
Como se puede observar, la recta tangente es la gráfica de la función lineal

L= f(a)+f ‘ (a)(x-a)→ linealización de la función en el punto a

Mientas la tangente permanezca máscerca de la función, se tendrá una mejor aproximación, de tal manera que cuando la función y su linealización sean aproximadamente iguales, se dice que se esrá haciendo una aproximación lineal de lafunción. Esto sucede cuando L(a)= f(a) y L’(a)= f ‘ (a).

Este proceso de aproximación se puede generalizar cuando f se puede derivar varias veces, utilizando polinomios en lugar de una aproximaciónlineal. En este caso en lugar de L(a), se denotará a la función como Pn(a) donde n representará el grado del polinomio a utilizar (puede ser grado, 1 , 2, 3, etc)y cada una de las funcionespolinomiales mejora la aproximación de la función exponencial. Estos polinomios son conocidos como polinomios de Taylor. En estos polinomios


Ilustración 1 : Definición de polinomios de Taylor







Acontinuación , una imagen muestra de los polinomios de Taylor de la función seno para ilustrar las aproximaciones:

Ilustración 2: Gráfica polinomios de Taylor





Ejercicios







Respecto a lapregunta: ¿Qué podría concluir?





Conclusión ejercicio 6
Los polinomios de Taylor cuando a tienen distintos valores encajaron con bastante exactitud en los puntos donde f(x)= a

Bibliografía
CalculusEarly Transcendentals, J. Stewart, 7th Ed., THOMSON
EL TEOREMA DE TAYLOR. (n.d.). Retrieved February 18, 2015, from http://www.mat.uson.mx/eduardo/calculo2/soltaylor/soltaylorHTML/taylor.htm...