ACTA Y BASES CONSTITUTIVAS DE LA SOCIEDAD COOPERATIVA DE PRODUCCIÓN.

Ejercicios Resueltos (de examen)
Rom´an Salmer´on G´omez

1.

Modelo lineal uniecuacional m´
ultiple

1. Usando los siguientes datos, consumo nacional (Ct ) y renta nacional (Rt ) en Espa˜
na para el periodo 1995-2005 a precios corrientes (109 euros), obtenga las estimaciones por
MCO, as´ı como las sumas de cuadrados total, explicada y residual, y el coeficiente de
determinaci´
on,para el modelo de regresi´
on Ct = β1 + β2 Rt + ut .
A˜
no
1995
1996
1997
1998
1999
2000
2001
2002
2003
2004
2005

Ct
349
368
388
414
444
484
518
550
586
635
686

Rt
388
408
433
465
498
538
574
614
656
699
748

A partir de la informaci´on muestral se tiene que:
X tX =

11
6021
6021 3443083

,

X tC =

5422
3104015

,

por lo que laestimaci´on del modelo por MCO se obtiene a partir de:
β = X tX

−1

X tC =

2′ 1234
−0′ 00371
′
−0 00371 0′ 00000678

·

5422
3104015

=

−12′ 8761
0′ 924

Por tanto, el modelo estimado queda: Ct = −12′8761 + 0′ 924Rt .

La suma de cuadrados explicada se obtiene a partir de la expresi´on:
2

SCE = β t · X t C − n · C = 2798415′824 − 11 ·

5422
11

mientras que la de losresiduos:
SCR =

et e
182′ 1756
=
= 20′ 2417,
n−k
11 − 2

1

2

= 125862′7334,

.

donde se ha usado que:










e=C −C =









y por tanto, et e = 182′ 1756.

349
368
388
414
444
484
518
550
586
635
686





 
 
 
 
 
 
 
 
−
 
 
 
 
 
 
 
 

345′ 6509
364′ 1317387′ 2327
416′ 8019
447′ 2952
484′ 2567
517′ 5221
554′ 4837
593′ 2933
633′ 0270
678′ 3049





 
 
 
 
 
 
 
 
=
 
 
 
 
 
 
 
 

3′ 3491
3′ 8683
0′ 7673
−2′ 8019
−3′ 2952
−0′ 2567
0′ 4779
−4′ 4837
−7′ 2933
1′ 9730
7′ 6951











,









Por otro lado, la suma de cuadradostotales ser´a SCT = SCE + SCR = 125862′7334 + 182′ 1756 =
126044′909.
Finalmente, el coeficiente de determinaci´on es:
R2 =

SCE
125862′7334
=
= 0′ 998554.
SCT
126044′909

2. Para el modelo Yt = β1 + β2 vt + β3 wt + ut se tienen los siguientes datos:
SCT = 104′ 9167,
 ′

0 6477
−0′ 041 −0′ 0639
0′ 0071 −0′ 0011  ,
=  −0′ 041
′
−0 0639 −0′ 0011 0′ 0152
n = 12,

X tX

−1Se pide:




91
X t Y =  699  .
448

a) Ajustar el modelo por el m´
etodo de MCO y calcular el coeficiente de determinaci´
on.
b) Contraste de significaci´
on para β2 + β3 = 1.
c) Intervalo de predicci´
on para E[Y ] sabiendo que v0 = 2′ 5 y w0 = −0′ 3.
La estimaci´on del modelo por MCO se obtiene a partir de:
 ′
 
  ′

0 6477
−0′ 041 −0′ 0639
91
1 6545
−1
0′0071 −0′ 0011  ·  699  =  0′ 7391  .
β = X tX
X t Y =  −0′ 041
′
−0 0639 −0′ 0011 0′ 0152
448
0′ 2258

Por tanto, el modelo estimado queda: Yt = 1′ 6545 + 0′ 7391vt + 0′ 2258wt .
Para calcular el coeficiente de determinaci´on tendremos en cuenta que:
2

SCE = β t · X t Y − n · Y = 768′3488 − 690′ 083 = 78′ 2654,
donde se ha usado que:


y


91
β t · X t Y = (1′ 6545 0′7391 0′ 2258) ·  699  = 768′ 3488,
448
Yt = 91 → Y =

91
2
= 7′ 583 → Y = 57′ 5069.
12
2

Adem´as, como SCT = 104′ 9167, el coeficiente de determinaci´on ser´a:
R2 =

SCE
78′ 26547
=
= 0′ 7459.
SCT
104′ 9167

Es decir, el ajuste realizado explica aproximadamente un 74’59 % de la variabilidad de Y .
Para el contraste de significaci´on de la restricci´on H0 : β2 + β3 = 1,tendremos en cuenta que se rechaza
la hip´otesis nula si:
Rβ − r

Fexp =

t

−1

· R (X t X)

Rt

q · σ2

−1

· Rβ − r

> Fq,n−k (1 − α).

De la restricci´on β2 + β3 = 1 se obtiene que R = (0 1 1), r = 1 y q = 1, por lo que:
 ′

1 6545
Rβ − r = (0 1 1) ·  0′ 7391  − 1 = −0′ 0351,
0′ 2258
R · X tX

−1

· Rt

=

=

Y como:
σ2 =
se tiene que:



  ...