Actos

atic

as

CAP´
ITULO 6

ept

INTRODUCCION

,D

6.1.

o. d

eM

atem

TRANSFORMADA DE LAPLACE

e−st f (t)dt

An

0

tioq

∞

£{f (t)}(s) = F (s) =

uia

Definici´n 6.1 Sea f (t) una funci´n definida para todo t ≥ 0; se define la
o
o
Transformada de Laplace de f (t) as´
ı:

l´
ım

b→∞

rsid
ad

si el l´
ımite existe.

e−st f (t)dt,

0

de

=b

Un
ive

Teorema 6.1 .
Si f (t) es una funci´n continua a tramos para t ≥ 0 y adem´s |f (t)| ≤ M ect
o
a
para todo t ≥ T , donde M es constante , c > 0 constante y T > 0 constante,
entonces £{f (t)}(s) existe para s > c.
Demostraci´n: veamos que la siguiente integral existe, en efecto:
o
|£{f (t)}(s)| =
=

∞
0
∞
0

e−st f (t)dt ≤

e−st |f (t)|dt,
215

∞
0

|e−st||f (t)|dt

sabiendo que e−st > 0

CAP´
ITULO 6. TRANSFORMADA DE LAPLACE
T

=

e

−st

0

|f (t)|dt +

∞
T

e−st |f (t)|dt

I1

I2

T

T

∞

e−st |f (t)| dt ≤
≤ M ect

e−st M ect dt = M

∞

e(−s+c)t dt

atic

∞

I2 =

T

T

atem

0

as

e−st |f (t)|dt existe, ya que f es continua a tramos

I1 =

∞

o. d

eM

M
=
e−(s−c)t ,suponiendo que s − c > 0
−(s − c)
T
M −(s−c)T
M
−(s−c)T
(0 − e
)=
e
= −
s−c
s−c

ept

Luego, £{f (t)}(s) existe, si s > c.

uia

,D

NOTA: cuando f (t) ≤ |f (t)| ≤ M ect para t ≥ T , entonces decimos que
f (t) es de orden exponencial (ver figura 6.1).

tioq

f (t)

An

M ect , (c > 0)

de

Un
ive

(0, M ) •

f (t)

rsid
ad

•

t

T

Figura 6.1Observaci´n: £ es un operador lineal, en efecto
o
£{αf (t) + βg(t)}(s)

∞

def.

=

0

216

e−st (αf (t) + βg(t)) dt

6.1. INTRODUCCION
∞

∞

e−st f (t) dt + β

e−st g(t) dt

=

α

=

α£{f (t)}(s) + β£{g(t)}(s)

0

0

Teorema 6.2 .

k
s

, s > 0, k constante.

atic

£{k}(s) =

s > 0,

,

as

1
s

n!
sn+1

,

s > 0, n = 1, 2, . . .

3).£{eat }(s) =

1
s−a

,

para s > a

o. d
ept

s>0

,

s>0

s
s2 +k2

8). £{tn eat }(s) =

s
s2 −k2

n!
(s−a)n+1

,

s > |k|

,

s > |k|

rsid
ad

7). £{cosh kt}(s) =

k
s2 −k2

Un
ive

6). £{ senh kt}(s) =

de

An

5). £{cos kt}(s) =

tioq

uia

,

,D

k
s2 +k2

4). £{ sen kt}(s) =

eM

2). £{tn }(s) =

atem

1). £{1}(s) =

s> a, n = 1, 2, . . .

,

Demostraci´n 1). Si s > 0 se tiene que
o
∞

£{1}(s) =
0

e

−st

e−st
1 dt =
−s

∞
0

=

1
s
217

CAP´
ITULO 6. TRANSFORMADA DE LAPLACE
Demostraci´n 2). Hagamos la demostraci´n por el m´todo de inducci´n.
o
o
e
o
Para ello, suponemos que s > 0 y utilizamos el siguiente limite:
n
l´ | ect | = 0, n = 1, 2, . . .
ım t

t→∞

u=t
⇒ du= dt
−st
dv = e dt ⇒ v = − 1 e−st
s

hagamos

0

te−st
s

∞

+

0

1
s

∞

e−st dt

as

= −

0
∞
0

o. d

eM

1 1 −st
£{t}(s) = −(0 − 0) +
e
s −s
1
1
= − 2 (0 − 1) = 2
s
s

atic

e−st t dt,

atem

∞

n = 1 : £{t}(s) =

u = tn
⇒ du = ntn−1 dt
dv = e−st dt ⇒ v = − 1 e−st
s

e−st tn dt hagamos

,D

∞

tn e−st
= −
s

∞
0

n
+s

∞

uia

0

e−st tn−1 dt

0

tioq

£{tn }(s) =

ept

Supongamos que se cumple para n − 1 y veamos que se cumple para n. En
efecto:

de

An

£{tn−1 }(s)
n
n
= −(0 − 0) + £{tn−1 }(s) = £{tn−1 }(s)
s
s

rsid
ad

Pero por la hip´tesis de inducci´n £{tn−1 }(s) =
o
o

luego:

n!
n (n − 1)!
= n+1
n
s s
s

Un
ive

£{tn }(s) =

(n−1)!
,
snDemostraci´n 4). Por el m´todo de los operadores inversos, tenemos:
o
e
£{ sen kt}(s) =

∞

e−st ( sen kt) dt

0

=

= e
218

−st

1 −st
e sen kt
D

D+s
sen kt
D 2 − s2

∞
0

∞

=e

0

=e

−st

1
sen kt
D−s

∞

D+s
sen kt
−k 2 − s2

∞

−st

0

0

6.2. TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE
∞

1
e−st (k cos kt + s sen kt)
2 + k2
s
0
1
k
= −...