Actuaria

Unidad 1: Probabilidad
ejercicios

1. Demostrar las siguientes propiedades y teoremas de conjuntos:

a) Dados ; se tienen las siguientes propiedades:
i. y (Conmutativa)
ii. y (ASOCIATIVA)
iii. y (DISTRIBUTIVA)
iv.
v. ; ; ; y
vi. ; ; ; y
vii. ; y (leyes de De morgan)
viii.

b) Sean , entonces:
i.
ii.

c) Sea , entonces y .

2.Demostrar los siguientes teoremas sobre álgebras de eventos:

a)

b) Si , entonces

c) Si , entonces:


3. Demostrar las propiedades de la función indicadora:
Sea Ω cualquier espacio y 𝒜 cualquier colección de subconjuntos de Ω:
a) para cada
b) para
c) para
d) para cada

4. Demostrar los siguientes teoremas relacionados con la definición axiomática de probabilidad:
a)Para eventos se tiene que:

*Hint: Intentar la demostración por medio de Inducción Matemática.
b) DESIGUALDAD DE BOOLE: Sean , entonces:

*Hint: Intentar la demostración por medio de Inducción Matemática.

5. Sea un espacio de probabilidad , y sea que satisface .
a) .
b) Si son eventos mutuamente excluyentes en 𝒜, entonces:

c) Si , entonces:

d) Si , entonces:

e) Paracualesquiera dos eventos , se tiene:

f) Si y , entonces:

g) Si , entonces:


6. Sean eventos en el espacio probabilidad , tales que , , , y . Calcular la probabilidad de que:
a) Sólo ocurra .
b) Ocurran los tres sucesos.
c) Por los menos dos ocurran.
d) No ocurran más de dos.

7. Entre los número del al , se eligen enteros al azar sin que se pueda elegir el mismo número en dos o másocasiones. Calcule la probabilidad de que sea el mayor número elegido.

8. En un edificio de pisos, personas se suben al elevador en la planta baja. Calcular la probabilidad de que en dos pisos no baje nadie.

9. ¿Cuál es la probabilidad de que un grupo de cartas contenga exactamente ases? ¿Y de que contenga o más ases?

10. Demostrar que:

11. ¿De cuántas maneras pueden dividirseobjetos diferentes en grupos que contengan objetos, si ? Donde .

12. Consideremos el siguiente juego con dos dados: una persona lanza los dados y suma los resultados de las caras superiores. Gana si en la primera tirada obtiene ; pierde si en la primera tirada obtiene, 3 ó . Si obtiene ó en la primera tirada, continúa arrojando los dados hasta que obtenga o el primero de los números que obtuvo;en el segundo caso gana y en el primero pierde. ¿Cuál es la probabilidad de ganar?

13. En la herencia mendeliana simple, cada característica física de una planta o animal viene determinada por un solo par de genes. Un ejemplo es el color de los guisantes. Representemos por los colores amarillo y verde; los guisantes serán verdes si la planta tiene el par de genes determinantes del color;serán amarillos si el par de genes es . En vista de esto último, se dice que el color amarillo domina sobre el verde. La progenie recibe un gene de cada uno de los dos ascendientes y tiene igual probabilidad de obtener cualquiera de los dos genes de cada ascendiente. Si se cruza un guisante con un guisante , todos los guisantes resultantes del cruce son y amarillos por la dominancia. Si se cruza unguisante con uno , la probabilidad de que cada guisante que resulta sea amarillo es y la de que sea verde, también. Si se efectúa un número grande tales cruces es de esperar que aproximadamente la mitad resulten amarillos y la mitad verdes. Si se cruzan guisantes y , ¿cuál es la proporción esperada de amarillos? ¿y cuál será la proporción esperada de entre los amarillos?

14. En una ciudadse publican periódicos: . Realizada una encuesta, se estima que de la población adulta:
lee
lee
lee
lee
lee
lee
lee los tres
¿Qué porcentaje lee al menos uno de estos periódicos? De los que leen al menos un periódico, ¿qué porcentaje lee ?
15. Supóngase que una oficina tiene máquinas calculadoras. Algunas de esas máquinas son eléctricas , mientras que otras son manuales ....