Administración y dirección de empresas

Ejemplos de Problemas Resueltos Tema 6

Problemas

Problema 1

Dada la forma cuadrática Q( x)  3x12  3x 22  4x1 x 2  8x1 x 3  4x 2 x 3 , encuéntrese una
expresión diagonal y estudie susigno.
Problema 2

Estudie el signo de las siguientes formas cuadráticas:
a).- Q( x1 , x 2 )  3x12  4x1 x 2  7x 22
b).- Q( x1 , x 2 , x 3 )  x12  x 22  2x 2 x 3  x 32
c).- Q( x1 , x 2 , x 3)  x12  2x 22  2x 2 x 3  2x 32
d).- Q( x1 , x 2 , x 3 )  x12  x 22  x 32  2x1 x 2
Problema 3

Mediante el criterio de los menores principales, estudie el signo de las formas
cuadráticasdel ejemplo 2.

Universidad Católica San Antonio de Murcia

Ejemplos de Problemas Resueltos Tema 6

Soluciones

Problema 1

Dada la forma cuadrática Q( x)  3x12  3x 22  4x1 x 2  8x1 x3  4x 2 x 3 , encuéntrese una
expresión diagonal y estudie su signo.
Solución:
 3 2 4  x1 

 
En forma matricial, la forma cuadrática queda: Q( x )  ( x1 , x 2 , x 3 ) 2 0 2  x 2 
 
 4 2 3  x 3 

A

Autovalores de A:
3  2
4
  1 ( doble)
A  I  0  2

2  3  62  15  8  0  
  8
4
2 3 

 1 0 0


Por tanto, la MatrizDiagonal: D   0 1 0 , es congruente con A, y la forma


 0 0 8

cuadrática inicial puede expresarse diagonalmente como: Q( x)   y12  3y 22  8y 32 .
Según los signos de los valorespropios (dos negativos y uno posistivo), tenemos
que la forma cuadrática es indefinida.
 1

2


La matriz ortogonal del cambio x  Uy , es: U   0

 1

 2



1
3 2
4

3 2
1
3 2

2

3
1
. Para llegar a
3

2

3

ella debe obtener los vectores propios de A y ortonormalizarlos según el método de
Gram-Schmidt.

Universidad Católica San Antonio deMurcia

Ejemplos de Problemas Resueltos Tema 6

Problema 2

Estudie el signo de las siguientes formas cuadráticas:
a).- Q( x1 , x 2 )  3x12  4x1 x 2  7x 22
Solución:
 3 2  x1 
...