agroindustrias

CÁLCULO II
CAMBIO DE VARIABLE

Juan Carlos Ponte Bejarano
cpb@upnorte.edu.pe

Juan Carlos Ponte Bejarano

José Luis Ponte Bejarano
lpb@upnorte.edu.pe

2011
2012

CASO 01: CostoMarginal
El costo marginal (en dólares) de una compañía que fabrica
zapatos está dado por
C '(x) 

x
x 2  2500
100

En donde x es el número de pares de zapatos producidos. Si los
costos fijos sonde $100, ¿podrías ayudar a determinar la
función costo?, ¿cómo lo harías?

Juan Carlos Ponte Bejarano

2011
2012

Logros de la sesión:
Al terminar la sesión de aprendizaje deberás ser capazde:

• Calcular la integral indefinida usando sustitución algebraica.
• Resolver problemas de ingeniería y administración usando
la técnica de sustitución algebraica.

Juan Carlos PonteBejarano

2011
2012

¿Qué necesitamos recordar?
Recordar:
• Fórmulas de integración
básicas
• Diferencial de una función

Juan Carlos Ponte Bejarano

2011
2012

Temario
1. Integraciónusando Cambio de variable
1.1 definición
1.2 ejemplos

Juan Carlos Ponte Bejarano

2011
2012

TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN
I. Cambio de variable
Si U(x) es diferenciable en un intervalo I,entonces:



f  g( x ) .g'( x )dx 

donde

Juan Carlos Ponte Bejarano



f ( u )du

g( x )  u( x )

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Ejemplo 1.
Calcular

I 

e

x2

xdx

Solución

U( x ) x 2

1
xdx  du
2

du  2xdx 
 I 

1
2

Juan Carlos Ponte Bejarano

 e du 
u

1
2

e

x2

c
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Ejemplo 2.
Calcular

I   sin x cos xdx

Solución

u(x )  sin x

 du  cos xdx

2
u2
sin x
 I  udu 
c 
c
2
2



Juan Carlos Ponte Bejarano

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2012

Ejemplo 3.

I 

Calcular

1
x ln x

3

dx

Solución:ln x  3ln x
3

u( x )  ln x
I 

1
3





1 1
. dx  1
 ln x x
3


Juan Carlos Ponte Bejarano

1
I 
dx
3x ln x

1
du  dx
x



du
1
 ln u  c
u
3

1
I...