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Método del trapecio
 

Para calcular la integral definida, aplicando el Teorema Fundamental del Cálculo, es preciso obtener previamente una integral indefinida. Aunque se conocen diversos métodos para hallar la integral indefinida de una cantidad considerable de funciones, existen funciones para las cuales estos métodos no son aplicables. Este inconveniente se supera haciendo uso de laintegración numérica. La integración numérica permite evaluar la integral definida de una función continua en un intervalo cerrado con la exactitud deseada. En este apartado vamos a estudiar dos métodos de integración numérica: la Regla del trapecio y la Regla de Simpson


Este es un método de integración numér que se obtiene al integrar la formula de interpolación lineal.ico
 
Respuesta,(error).
 


 
 

 





Él área sombreada por debajo de la recta de interpolación la llamaremos g(x) es igual a la integral calculada mediante la regla del trapecio, mientras que el área por debajo de la curva f(x) es el valor exacto.
Él error de la ecuación es igual al área entre g(x) y f(x).
 
Esta misma ecuación se puede extender a varios intervalos y se puede aplicarN veces al caso de N intervalos con una separación uniforme h.
Así se propone la regla extendida del trapecio.
 

 
 
 
 
 
 
 

 



REGLA DE SIMPSON 1/3
DE SEGMENTOS MULTIPLES.

Asà como la regla trapezoidal, la regla de Simpson se mejora dividiendo el intervalo de integración en segmentos de igual anchura.
h=(b-a)/n
La integral total se representa como:Sustituyendo la regla de Simpson en cada una de las integrales individuales se obtiene:

reordenando los términos, se obtiene:







Método de Runge-Kutta
Los métodos de Runge-Kutta (RK) son un conjuntos de métodos iterativos (implícitos y explícitos) para la aproximación de soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias, concretamente, del problema de valor inicial.
Sea

unaecuación diferencial ordinaria, con donde es un conjunto abierto, junto con la condición de que el valor inicial de ƒ sea


Entonces el método RK (de orden s) tiene la siguiente expresión, en su forma más general:
,
donde h es el paso por iteración, o lo que es lo mismo, el incremento entre los sucesivos puntos y . Los coeficientes son términos de aproximación intermedios, evaluados en ƒ demanera local

con coeficientes propios del esquema numérico elegido, dependiente de la regla de cuadratura utilizada. Los esquemas Runge-Kutta pueden ser explícitos o implícitos dependiendo de las constantes del esquema. Si esta matriz es triangular inferior con todos los elementos de la diagonal principal iguales a cero; es decir, para , los esquemas son explícitos.




Un miembro de lafamilia de los métodos Runge-Kutta es usado tan comúnmente que a menudo es referenciado como «RK4» o como «el método Runge-Kutta».
Definiendo un problema de valor inicial como:

Entonces el método RK4 para este problema está dado por la siguiente ecuación:

Donde


Así, el siguiente valor (yn+1) es determinado por el presente valor (yn) más el producto del tamaño del intervalo (h) por unapendiente estimada. La pendiente es un promedio ponderado de pendientes, donde es la pendiente al principio del intervalo, es la pendiente en el punto medio del intervalo, usando para determinar el valor de y en el punto usando el método de Euler. es otra vez la pendiente del punto medio, pero ahora usando para determinar el valor de y; es la pendiente al final del intervalo, con el valor de ydeterminado por . Promediando las cuatro pendientes, se le asigna mayor peso a las pendientes en el punto medio:

Esta forma del método de Runge-Kutta, es un método de cuarto orden lo cual significa que el error por paso es del orden de , mientras que el error total acumulado tiene el orden . Por lo tanto, la convergencia del método es del orden de , razón por la cual es usado en los métodos...