Ajuste De Curvas E Interpolaci N Tarea Metodos Num Ricos

Interpolación lineal

La interpolación lineal es un caso particular de la interpolación general de Newton.
Con el polinomio de interpolación de Newton se logra aproximar un valor de la función f(x) en un valor desconocido de x. El caso particular, para que una interpolación sea lineal es en el que se utiliza un polinomio de interpolación de grado 1, y se denota de la siguiente manera:Interpolación lineal de una variable independiente.
En una tabla se representan algunos valores de la función, pero no todos. En ocasiones, nos interesa el valor de la función para un valor de la variable independiente distinto de los que figuran en la tabla; en este caso, podemos tomar el más próximo al buscado o aproximarnos un poco más por interpolación. La interpolación casi siempre nos dará un pequeñoerror respecto al valor de la función verdadero, pero siempre será menor que tomar el valor más próximo de los que figuran en la tabla. Veamos cómo se calcula al valor de la función para un valor de la variable independiente que se encuentre entre dos valores de la tabla por interpolación lineal.
Por la tabla sabemos que:



Siendo:


La interpolación lineal consiste en trazar una recta que pasapor (x1,y1) y (x2,y2), y = r(x) y calcular los valores intermedios según esta recta en lugar de la función y = f(x).

Para ello nos basamos en la semejanza de triángulos y esto es:

despejando, tenemos:

o lo que es lo mismo:

El valor buscado es:

esto es:












Interpolación Cuadrática

Si en vez de utilizar rectas (polinomios de primer grado) utilizamos polinomios de segundo gradopara interpolar, estaremos realizando interpolación cuadrática. Para la interpolación lineal utilizábamos dos puntos, pues dos puntos determinan una recta; ahora necesitaremos tres puntos para determinar la correspondiente parábola. Empezaremos con un ejemplo con números más pequeños para ilustrar como realizar la interpolación cuadrática, y observar los problemas que se nos plantean.
Supongamos quede una determinada función conocemos los puntos dados por la siguiente tabla:

Xi
-1
2
3
Yi
6
3
10

Y queremos calcular un valor aproximado para x=1,5 utilizando interpolación cuadrática.
Razonando como en el caso de interpolación lineal, la ecuación general de una parábola es: y=ax2+bx+c. Si determinamos los valores de a, b y c, habremos calculado la ecuación. Como la parábola pasa por lospuntos (-1, 6), (2, 3) y (3, 10), se tiene, sustituyendo cada punto en la ecuación general de la parábola, el siguiente sistema de ecuaciones lineales: a-b+c=6 4a+2b+c=3 9a+3b+c=10
Resolviéndolo se obtienen los valores de a=2, b=-3 y c=1 e y(1,5)=2·1,52-3·1,5+1=1 será el valor aproximado para x=1,5 calculado mediante interpolación cuadrática.
Observación: Si los tres puntos están alineados, avaldrá 0 y tendremos un polinomio de primer grado. Incluso podría pasar que también b fuera 0, y en tal caso el polinomio sería de grado 0. En general, dados n+1 puntos con abscisas distintas, se puede probar que siempre hay un polinomio de grado menor o igual que n que pasa por ellos.

Como los números del ejemplo son enteros, y está preparado para que salgan soluciones enteras, no habrá habidomuchas dificultades para resolverlo bien. Sin embargo, si la tabla de datos hubiera sido la siguiente:

Xi 2,305000 3,474000 4,643000
Yi 0,346520 0,624742 0,942710

los cálculos necesarios para encontrar el polinomio de segundo grado que nos sirva como polinomio interpolador serán muy laboriosos. Los datos de esta tabla corresponden a tres puntos de la tabla de la renta, pero expresadas las cantidadesen millones de pesetas.
Es fácil comprender que si intentamos hacer interpolación mediante un polinomio de 3º, 4º ... el sistema de ecuaciones correspondiente se hará cada vez más tedioso de resolver.

Para soslayar este problema se han ideado varios métodos que permiten calcular el polinomio interpolador de forma más sencilla que resolviendo un sistema de ecuaciones análogo al anterior....