Alain

Capítulo 7

La geometría del plano y del espacio.
7.1. Rectas en un plano. 7.2. Rectas y planos en el espacio. 7.3. Distancias y ángulos. Producto escalar. 7.4. Figuras sencillas en el plano y en el espacio: sus ecuaciones. 7.5. Áreas y volúmenes. Producto vectorial.

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Capítulo 7. La geometría del plano y del espacio

La geometría es la rama de la matemática que estudia la forma yel tamaño de las figuras, así como las trasformaciones que sobre ellas se ejercen. Dependiendo de que las figuras estén en un plano o en el espacio se obtienen las geometrías planas o tridimensionales. La antigua civilización griega poseía muchos conocimientos acerca de la geometría. Estos conocimientos fueron recogidos por uno de sus mejores exponentes, Euclides, que los recopiló en un librodenominado Los elementos. La traducción de este libro, que llegó a Europa a través de la civilización árabe, ha sido la base de todo el estudio de la geometría hasta finales del siglo XIX. Los elementos están basados en un sistema de verdades evidentes, denominadas axiomas, a partir de las cuales se deducen las propiedades de las figuras mediante un razonamiento lógico. Ejemplos de propiedades de lasfiguras son los siguientes: 1) Los ángulos formados por rectas perpendiculares entre sí son iguales.

2) Las mediatrices de los catetos de un triángulo rectángulo se cortan en el punto medio de la hipotenusa.

En el siglo XVII el filósofo y matemático francés R. Descartes introdujo la noción de coordenadas de un punto; todo punto tiene una representación con respecto a unas rectas dadas que secortan. Los trabajos de los matemáticos durante los dos siglos siguientes mostraron que las propiedades geométricas de las figuras pueden demostrarse más fácilmente útilizando el sistema de representación mediante coordenadas cartesianas. Esta forma de estudiar la geometría se denomina geometría analítica. La geometría analítica sustituyó a la geometría de Los elementos de Euclides a finales delsiglo XIX y actualmente es la forma más extendida de estudiar la geometría. La geometría analítica del plano y del espacio ocupará gran parte de nuestra exposición en este capítulo; dedicaremos también alguna sección a estudiar propiedades de las figuras desde el punto de vista euclídeo.

Sección 7.1. Rectas en un plano

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7.1. RECTAS EN UN PLANO
7.1. Rectas en un plano

Dadas dosrectas en un plano que se cortan en un punto O, cualquier otro punto del plano queda determinado por dos números que reciben el nombre de componentes con respecto a las rectas dadas. Estas componentes se obtienen de la siguiente manera. Fijada una unidad de medida u en cada una de las rectas l1, l2, todo punto P del plano tiene como componentes x e y, donde x es la distancia, medida con la unidad u,del punto P a la recta l2 siguiendo una paralela a l1, e y es la distancia del punto P a la recta l1 siguiendo una paralela a l2, midiendo la distancia con respecto a la unidad de medida u (figura 7.1).

Figura 7.1

Si las rectas l1 y l2 son perpendiculares, diremos que tenemos un sistema de coordenadas rectangulares o cartesianas. La primera componente se denomina abscisa del punto y lasegunda ordenada. De acuerdo con esta nomenclatura la recta l1 se denomina eje de abscisas y l2 se denomina eje de ordenadas, denotándose también por OX y OY, respectivamente. A la izquierda de O en la recta l1 y por debajo de O en la recta l2 se toman medidas negativas. El punto de intersección O se denomina origen de coordenadas (figura 7.2)

Figura 7.2

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Capítulo 7. La geometría del planoy del espacio

Un plano dotado de un sistema de coordenadas se designa por 2. Otra forma de tratar a los puntos de 2 es considerarlos como el extremo de un vector cuyo origen es el origen de coordenadas (véase la figura 7.3).

Figura 7.3

El álgebra de los vectores se ha estudiado en la sección 1.2. La suma de los vectores v1 y v2 es la diagonal del paralelogramo que tiene como lados los...