algebra 5


 CONTENIDO 12. NOCION :. FACTORIZACIÓN

Factorizar un número consiste en expresarlo como producto de dos de sus divisores.

Ejemplo : Factoriza 20 en dos de sus divisores : 4 · 5, es decir 20 = 4  5

¿ Y en álgebra, qué será factorizar una expresión algebraica ?

Cuando realizamos las multiplicaciones :

i) 2x(x2 – 3x + 2) = 2x3 – 6x2 + 4x
ii) (x + 7)(x+ 5) = x2 + 12x + 35

entonces vemos que las expresiones de la izquierda son los factores y las de la derecha son las expresiones a factorizar, es decir , la factorización es el proceso inverso de la multiplicación.
La factorización es de extrema importancia en la Matemática, asi es que debes tratar de entender lo más que puedas sobre lo que vamos a trabajar.

Existen varios casos defactorización :


1. FACTOR COMUN MONOMIO :

Factor común monomio : es el factor que está presente en cada término del polinomio :

Ejemplo N 1: ¿ cuál es el factor común monomio en 12x + 18y - 24z ?

Entre los coeficientes es el 6, o sea, 6·2x + 6·3y - 6· 4z = 6(2x + 3y - 4z )


Ejemplo N 2 : ¿ Cuál es el factor común monomio en : 5a2 - 15ab - 10 ac
El factor común entrelos coeficientes es 5 y entre los factores literales es a : por lo tanto
5a2 - 15ab - 10 ac = 5a·a - 5a·3b - 5a · 2c = 5a(a - 3b - 2c )


Ejemplo N 3 : ¿ Cuál es el factor común en 6x2y - 30xy2 + 12x2y2
El factor común es “ 6xy “ porque
6x2y - 30xy2 + 12x2y2 = 6xy(x - 5y + 2xy )

Realiza tú los siguientes ejercicios :

EJERCICIOS. Halla el factor común de los siguientesejercicios :

1. 6x - 12 =
2. 4x - 8y =
3. 24a - 12ab =
4. 10x - 15x2 =
5. 14m2n + 7mn =
6. 4m2 -20 am =
7. 8a3 - 6a2 =
8. ax + bx + cx =
9. b4-b3 =
10. 4a3bx - 4bx =
11. 14a - 21b + 35 =
12. 3ab + 6ac - 9ad =
13. 20x - 12xy + 4xz =
14. 6x4 - 30x3 + 2x2 =
15. 10x2y - 15xy2 + 25xy =
16. 12m2n + 24m3n2 - 36m4n3 =
17. 2x2 + 6x + 8x3 -12x4 =
18. 10p2q3 + 14p3q2 - 18p4q3 - 16p5q4 =
19. m3n2p4 + m4n3p5 - m6n4p4 + m2n4p3 =
20.
21.
22.




Es el polinomio que aparece en cada término de la expresión :

EJEMPLO N 1.
Factoriza x(a + b ) + y( a + b ) =
Existe un factor común que es (a + b ) = x(a + b ) + y( a + b ) =
= ( a+ b )( x + y )

EJEMPLO N 2.
Factoriza 2a(m - 2n) - b (m - 2n ) =
= 2a(m - 2n) - b (m - 2n )
= (m - 2n )( 2a - b )

EJERCICIOS.

23. a(x + 1) + b ( x + 1 ) =
24. m(2a + b ) + p ( 2a + b ) =
25. x2( p + q ) + y2( p + q ) =
26. ( a2 + 1 ) - b (a2 + 1 ) =
27. ( 1 - x ) + 5c( 1 - x ) =28. a(2 + x ) - ( 2 + x ) =
29. (x + y )(n + 1 ) - 3 (n + 1 ) =
30. (a + 1 )(a - 1 ) - 2 ( a - 1 ) =
31. (a( a + b ) - b ( a + b ) =
32. (2x + 3 )( 3 - r ) - (2x - 5 )( 3 - r ) =


3. FACTOR COMUN POR AGRUPAMIENTO.

Se trata de extraer un doble factor común.

EJEMPLO N1.
Factoriza ap + bp + aq + bq
Se extrae factor común “p” de los dosprimeros términos y “q” de los dos últimos
p(a + b ) + q( a + b )
Se saca factor común polinomio
( a + b ) ( p + q )

EJERCICIOS :
33. a2 + ab + ax + bx =
34. ab + 3a + 2b + 6 =
35. ab - 2a - 5b + 10 =
36. 2ab + 2a - b - 1 =
37. am - bm + an - bn =
38. 3x3 - 9ax2 - x + 3a =
39. 3x2 - 3bx + xy - by =
40. 6ab + 4a - 15b - 10 =
41. 3a - b2 + 2b2x -6ax =
42. a3 + a2 + a + 1 =
43. ac - a - bc + b + c2 - c =

44. 6ac - 4ad - 9bc + 6bd + 15c2 - 10cd =
45. ax - ay - bx + by - cx + cy =
46. 3am - 8bp - 2bm + 12 ap =
47. 18x - 12 - 3xy + 2y + 15xz - 10z =
48.
49.



4. FACTORIZACION DE UN TRINOMIO DE LA FORMA x2 + bx + c

El trinomio de la forma x2 + bx + c se puede descomponer en dos factores...