Unidad 5 Transformaciones Lineales
5.1.- Introducción a las transformaciones Lineales.
Una transformación es un conjunto de operaciones que se realizan sobre un vector para convertirlo en otro vector.
Los espacios vectoriales son conjuntos con una estructura adicional, al saber, sus elementos se pueden sumar y multiplicar por escalares del campo dado, conviene utilizar funciones que preserven dicha estructura. Estas funciones se llamaran transformaciones lineales y en el presentecapitulo las estudiaremos. Mas adelante mostraremos que las transformaciones lineales se pueden representar en términos de matrices, y viceversa.
Se denomina transformación lineal a toda función cuyo dominio e imagen sean espacios vectoriales y se cumplan las condiciones necesarias. Las transformaciones lineales ocurren con mucha frecuencia en el álgebra lineal y en otras ramas de las matemáticas, tienen una gran variedad de aplicaciones importantes. Las transformaciones lineales tienen granaplicación en la física, la ingeniería y en diversas ramas de la matemática.
Estudiaremos las propiedades de las transformaciones lineales, sus diferentes tipos, así como la imagen, el núcleo, y como se desarrolla en las ecuaciones lineales.
Sean  V  y  W  espacios vectoriales sobre el mismo campo k. Una transformación lineal  de V  en  W, es una función 

 tal que:
i)  

 
  ii)  


 

.
En otras palabras, una transformación lineal es una función que respeta las operacionesdefinidas en los espacios vectoriales: “abre sumas y saca escalares”.

5.2.- Núcleo e imagen de una transformación lineal.
Sean y espacios vectoriales sobre (donde representa el cuerpo) se satisface que:
Si es lineal, se define el núcleo y la imagen de T de la siguiente manera:

Es decir que el núcleo de una transformación lineal está formado por el conjunto de todos los vectores del dominio que tienen por imagen al vector nulo del codominio.
El núcleo de toda transformación lineal es [continua]

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