Algebra Boleana

3.1 ÁLGEBRA BOOLEANA

Álgebra de Boole (también llamada Retículas booleanas) en informática y matemática, es una estructura algebraica que rigorizan las operaciones lógicas Y, O y NO, así como el conjunto de operaciones unión, intersección y complemento.
Se denomina así en honor a George Boole, (2 de noviembre de 1815 a 8 de diciembre de 1864), matemático inglés que fue el primero endefinirla como parte de un sistema lógico a mediados del siglo XIX. El álgebra de Boole fue un intento de utilizar las técnicas algebraicas para tratar expresiones de la lógica proposicional. En la actualidad, el álgebra de Boole se aplica de forma generalizada en el ámbito del diseño electrónico. Claude Shannon fue el primero en aplicarla en el diseño de circuitos de conmutación eléctrica biestables, en1948. |
DEFINICIÓN

El álgebra de Boole son operaciones internas y cumplen los siguientes axiomas:
1. Propiedad conmutativa:

2. Propiedad asociativa:

3. Propiedad distributiva:

4. Propiedad de los neutros. Existen tales que:

5. Propiedad de los opuestos. Existe tal que:

COMO RETÍCULO

El álgebra de Boole está conformada solo por dos elementos el 0, y 1 el 0 primero que el1:

Como retículo presenta las siguientes propiedades, las leyes principales son estas:
1. Ley de Idempotencia:

2. Ley de Asociatividad:

3. Ley de Conmutatividad:

4. Ley de Cancelativo

3.2 OPERACIONES
Hemos definido el conjunto A = {1,0} como el conjunto universal sobre el que se aplica el álgebra de Boole, sobre estos elementos se definen varias operaciones, veamos las másfundamentales:

Operación suma: La operación suma (+) asigna a cada par de valores a, b de A un valor c de A:

a | b | a + b |
0 | 0 | 0 |
0 | 1 | 1 |
1 | 0 | 1 |
1 | 1 | 1 |

Su equivalencia en lógica de interruptores es un circuito de dos interruptores en paralelo.

Si uno de los valores de a o b es 1, el resultado será 1, es necesario que los dos sumandos sean 0, paraque el resultado sea 0.
| | | |
3.1.3 OPERACIÓN PRODUCTO

a | b | a b |
0 | 0 | 0 |
0 | 1 | 0 |
1 | 0 | 0 |
1 | 1 | 1 |

La operación producto () asigna a cada par de valores a, b de A un valor c de A:

Esta operación en lógica de interruptores es un circuito en serie de dos interruptores

| | | |
Solo si los dos valores a y b son 1, el resultado será 1, si unosolo de ellos es 0 el resultado será 0.

OPERACIÓN NEGACIÓN

a | |
0 | 1 |
1 | 0 |
La operación negación presenta el opuesto del valor de a:

Un interruptor inverso equivale a esta operación:

| |

3.1.5 OPERACIONES COMBINADAS

a | b | |
0 | 0 | 1 |
0 | 1 | 1 |
1 | 0 | 0 |
1 | 1 | 1 |

Partiendo de estas tres operaciones elementales se puedenrealizar otras más complejas, que podemos representar como ecuaciones booleanas, por ejemplo:

Que representado en lógica de interruptores es un circuito de dos interruptores en paralelo, siendo el primero de ellos inverso.

La distinta secuencia de valores de a y b da los resultados vistos en la tabla de verdad.
| | | |

3.3 LEYES FUNDAMENTALES
El resultado de aplicar cualquiera de lastres operaciones definidas a variables del sistema booleano resulta en otra variable del sistema, y este resultado es único.
1. Ley de idempotencia:

2. Ley de involución:

3. Ley conmutativa:

4. Ley asociativa:

5. Ley distributiva:

6. Ley de cancelación:

7. Ley de identidad:

8. Leyes de De Morgan:

PRINCIPIO DE DUALIDAD
El concepto de dualidad permite formalizar este hecho:a toda relación o ley lógica le corresponderá su dual, formada mediante el intercambio de los operadores unión (suma lógica) con los de intersección (producto lógico), y de los 1 con los 0.
Además hay que cambiar cada variable por su negada. Esto causa confusión al aplicarlo en los teoremas básicos, pero es totalmente necesario para la correcta aplicación del principio de dualidad. Véase que...