Algebra booleana

ALGEBRA BOOLEANA
OPERACIONES
Álgebra de Boole o álgebra booleana se le denomina a las reglas algebraicas, basadas en la teoría de conjuntos, para manejar ecuaciones de lógica matemática. La lógica matemática trata con proposiciones, elementos de circuitos de dos estados, etc., asociados por medio de operadores como Y, O, NO, EXCEPTO, SI...ENTONCES, y que, por lo tanto permite cálculos ydemostraciones como cualquier parte de las matemáticas. Es llamada así en honor de George Boole, famoso matemático, que la introdujo en 1847.
Un algebra booleana es una estructura matemática con dos operaciones binarias y una unitaria que tiene características similares al algebra de números reales, pero que difiere en algunos otros aspectos. En muchos de los casos el dominio consiste en dos valorescero y uno (falso y verdadero). para mayor facilidad en su manejo las operaciones se representan por:
+y*, el operador unitario se puede representar mediante una raya superior a’.
El álgebra booleana es un sistema matemático deductivo centrado en los valores cero y uno (falso y verdadero).Un operador binario “ º “ definido en éste juego de valores acepta un par de entradas y produce un solo valorbooleano, por ejemplo, el operador booleano AND acepta dos entradas booleanas y produce una sola salida booleana. Para cualquier sistema algebraico existen una serie de postulados iniciales, de aquí se pueden deducir reglas adicionales, teoremas y otras propiedades del sistema, el álgebra booleana a menudo emplea los siguientes postulados:
Cerrado: El sistema booleano se considera cerrado conrespecto a un operador binario si para cada par de valores booleanos se produce un solo resultado booleano.
Conmutativo: Se dice que un operador binario “ º “ es conmutativo si A º B = B º A para todos los posibles valores de A y B.
Asociativo: Se dice que un operador binario “ º “ es asociativo si (A º B) º C = A º (B º C) para todos los valores booleanos A, B, y C.
Distributivo: Dosoperadores binarios “ º “ y “ % “ son distributivos si A º (B % C) = (A º B) % (A º C) para todos los valores booleanos A, B, y C.
Identidad: Un valor booleano I se dice que es un elemento de identidad con respecto a un operador binario “º “ si A º I = A.
Inverso: Un valor booleano I es un elemento inverso con respecto a un operador booleano “º “ si A º I = B, y B es diferente de A, es decir, B esel valor opuesto de A.

OPERACIONES QUE PERMITE EL ALGEBRA BOOLEANA
El álgebra de Boole es una estructura matemática definida sobre un conjunto de elementos ⎨a, b, c,...⎬ por tres operaciones con las propiedades siguientes:
• la complementación o negación, a , con propiedad de involución, a = a
• la operación "o", a + b , asociativa y conmutativa
• la operación "y", a.b , tambiénasociativa y conmutativa
• siendo estas dos últimas operaciones distributivas entre sí
a . (b + c) = (a . b) + (a . c)
a + (b . c) = (a + b) . (a + c)
• y existiendo dos elementos únicos, 0 y 1, tales que 0 = 1 1= 0 y
a + 0 = a a +1 = 1 a + a = 1
a . 0 = 0 a . 1 = a a . a = 0
Un ejemplo característico de álgebra booleana lo constituye el conjunto partes de un conjunto dado (conjunto de todos sussubconjuntos) con las operaciones de complementación, unión e intersección; tales operaciones pueden representarse gráficamente mediante los diagramas de Venn. A A UB A IB
En relación con el cuerpo de los números reales, contrastando sus operaciones
aritméticas de suma y resta con las operaciones "o" e "y" booleanas, el álgebra de Boole presenta las siguientes diferencias:
• La propiedaddistributiva es doble; no sólo de . («producto») respecto a + («suma»), sino también de + («suma») respecto a . («producto»).
• No existen elementos inversos respecto a las operaciones "o" e "y" y por ello no están definidas las operaciones inversas (como son la resta y división aritméticas).
• Existe, en cambio, el elemento complementario. [Considérese el diferente papel que desempeña el elemento...