Algebra Booleana

TOPICOS DE MATEMÁTICAS DISCRETAS

A) INTRODUCCIÓN AL ÁLGEBRA DE BOOLE
El Álgebra de Boole, también llamada Retículas booleanas en informática y matemática, es una estructura algebraica que formaliza las operaciones lógicas Y, O y NO, así como el conjunto de operaciones unión, intersección y complemento. En la actualidad, el álgebra de Boole se aplica de formageneralizada en el ámbito del diseño electrónico.

Para lograr que el circuito tenga la cantidad de partes correcta, esto es, la menor posible hay que optimizarlo. Un diseño óptimo causará que:
- El número de componentes sea el menor, el precio de proyecto sea el más bajo, la demanda de potencia del circuito sea menor, el mantenimiento del circuito sea más fácil y espacio necesario (circuitoimpreso) para la implementación del circuito será menor. En consecuencia, que el diseño sea el más económico posible.

B) DEFINICIÓN DEL ÁLGEBRA DE BOOLE.
Si B es un conjunto no vacío con dos operaciones binarias + y, dos elementos distintos 0 y 1 y una operación unaria “ ‘ ”, entonces B se llama álgebra booleana si se cumplen las siguientes propiedades básicas para todo a, b, c en B:

*PROPIEDADES DEL ÁLGEBRA DE BOOLE. Las propiedades del conjunto en el que se han definido las operaciones (+, *, ') son las siguientes:
5. LEYES DE IDEMPOTENCIA E INVERSA:
De la suma: a+a = a a+a' = 1
Del producto: a*a = a a*a' = 0

6. PROPIEDAD DISTRIBUTIVA:
De la suma respecto al producto: a*(b+c) = (a*b) + (a*c)Del producto respecto a la suma: a + (b*c) = (a+b)*(a+c)

7. LEY ABSORCIÓN
De la suma: a+(a*b) = a
Del producto: a*(a+b) = a


8. LEYES DE IDEMPOTENCIA E INVERSA:
De la suma: a+a = a a+a' = 1
Del producto: a*a = a a*a' = 0

9. PROPIEDAD DISTRIBUTIVA:
De la suma respecto al producto: a*(b+c) =(a*b) + (a*c)
Del producto respecto a la suma: a + (b*c) = (a+b)*(a+c)

10. LEY ABSORCIÓN
De la suma: a+(a*b) = a
Del producto: a*(a+b) = a


1. PROPIEDAD CONMUTATIVA:
De la suma: a+b = b+a
Del producto: a*b = b*a

2. PROPIEDAD ASOCIATIVA:
De la suma: (a+b)+c = a+(b+c) = a+b+c
Del producto: (a*b)*c = a*(b*c) = a*b*c

3. LEYES DE DE MORGAN:(a+b+c)' = a'*b'*c'
(a*b*c)' = a'+b'+c'

4. LEY NEUTRO Y DOMINACIÓN
a+0=a a*0=0
a*1=a a+1=1

PROBLEMA 1. Utilizar las propiedades del algebra booleana para verificar las equivalencias:
A + A'B = A+B
A' · (A+B') = A'B'
AB + AB' = A
(A' + B')(A' + B) = A'
C) MÉTODOS PARA EXPRESAR UNA FUNCIÓN BOOLEANA EN FORMA CANÓNICA.Definiciones:
* Si x1, x2,…,xn son variables booleanas, una función de Bn= {x1,x2,…,xn} a B={0,1} recibe el nombre de función booleana de grado n.

* Mintérmino: Un mintérmino de n variables booleanas es un PRODUCTO booleano de las n literales (variables de complemento) en las cuales aparece exactamente una vez.

* Maxtérmino: Un maxtérmino de n variables booleanas es una SUMA booleanade las n literales en las cuales cada literal aparece exactamente una vez.

* Cuando una función booleana se expresa como una suma de mintérminos recibe el nombre de suma de expansión de productos o se dice que está en forma normal disyuntiva (FND).

* Cuando una función booleana se expresa como un producto de maxtérminos recibe el nombre de producto de expansión de sumas o se diceque está en forma normal conjuntiva (FNC).

C.1) MÉTODO DE TABLA DE VERDAD.

1) Procedimiento para expresar una función booleana f en FND.
1.1 Escribir los renglones en los cuales la entrada de la columna que corresponde a la función f es 1.
1.2 La FND de f es la SUMA booleana (V) de los mintérminos correspondientes a las literales en esos renglones.

2) Procedimiento para...