Algebra Booleana

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Algebra booleana:
Conjunto de elementos, un conjunto de operadores y un numero de axiomas (verdad evidente que no requiere demostración) no postulados o probados. Conjunto de elementos es colección de objetos que tiene una propiedad en común.

Postulados:
Los postulados de un sistema matemático forman los supuestos básicos mediante los cuales es posible deducir las reglas: 1. 2. 3. 4. 5. 6.Cierre Ley asociativa Ley conmutativa Elemento identidad Inversa Ley distributiva

1; Cierre: Un conjunto S está cerrado con respecto a un operador binario si, para cada par de elementos de S, si el operador binario especifica una regla para obtener un elemento único de S. por ejemplo, el conjunto de los números naturales N=(1,2,3,4,…) está cerrado con respecto al operador binario más(+) por lasreglas de la adición aritmética, ya que para cualquier a,b є N se obtiene una única c EN por la operación a+b=c. el conjunto de los números naturales no está cerrado con respecto al operador binario menos(-) por las reglas de la resta aritmética debido a que 2-3=-1 y 2,3 єN, ya que (-1) єN 2; ley asociativa: un operador binario* en un conjunto S se dice que es asociativo siempre que (x•y)•z=x•(y•z) para todos x, y, z єS

3; ley conmutativa: un operador binario * en un conjunto S se dice que es conmutativo siempre que: x•y=y•x para todos x, y єS 4; elemento identidad: conjunto S se dice que tiene un elemento identidad respecto a una operación binaria • en S si existe un elemento e єS con la propiedad: e•x=x•e=x para cada Xes X+0=0+x=x para cualquier x EI

5; inversa: un conjunto S quetiene una identidad e con respecto a un operador binario • se dice que tiene una inversa siempre que, para cada x єS, existe un dominio y єS tal que: X•y= e 6; ley distributiva: si* y. son dos operadores binarios en un conjunto S, • se dice que es distributivo sobre. Siempre que: X• (y•z)=(x•y). (X•z)

Definición de algebra booleana:
George Boole introdujo un tratamiento sistemático de la lógicay desarrollo para este propósito un sistema algebraico que ahora se conoce como algebra booleana. C.E. Shannon introdujo un algebra booleana de dos valores denominada algebra de interruptores, en la cual demostró que las propiedades de las circuitos eléctricos y estables con interruptores pueden representarse con esta algebra. Para la definición formal del algebra booleana, se emplean lospostulados

formulados por e. v. Huntington. Estos postulados o axiomas no son únicos para definir el álgebra booleana. El álgebra booleana es una estructura algebraica definida en un conjunto de elementos B junto con dos operadores binarios (+ y •). Siempre que se satisfagan los siguientes postulados:

Postulados Huntington
1; a) cierre con respecto al operador +. b) cierre con respecto aloperador•. 2; a) un elemento identidad con respecto a +, designado por 0: x+0= 0+x= x b) un elemento identidad con respecto a •, designado por 1: x• (puntos) a = 1•x =x 3; a) conmutativo con respecto a +: x+y=y+x b) conmutativo con respecto a •: x •y = y• x (1+0=o+1; 1•0=0•1) 4; a) * es distributivo sobre +: x• (y+z) = (x•y) + (x•z) b) + es distributivo sobre •: x+ (y•z) = (x+y) • (x+z) 5; Para cadaelemento x єB, existe un elemento x’ єB (denominado complemento de x) tal que: (a) x+x’=1 y (b) x* x’=0. 6; existen cuando menos dos elementos x, y єB tales que x diferente y.

Al comparar el álgebra booleana con la aritmética y el álgebra ordinaria (el campo

de los números reales) se observan las siguientes diferencias: 1; los postulados de Huntington no incluyen la ley asociativa. No obstante,esta ley es válida para el álgebra booleana y puede derivarse (para ambos operadores) mediante los otros postulados. 2; ley distributiva de + sobre •, esto es, x+ (y•z)=(x+y) •(x+z), es válida para el álgebra booleana, pero no para el álgebra ordinaria. 3; el álgebra booleana no tiene inversas aditiva o multiplicativa; por lo tanto, no hay operadores de sustracción o división. 4; el postulado...
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