Algebra Booleana

Álgebra Booleana
Una proposición, es una declaración la cual puede ser verdadera o falsa, por ejemplo: 5 > 4, 2+2=5, “Pedro comió a las 3″, “Me gusta la sopa”.
Algunas veces es más difícil que otras determinar si la declaración (o proposición) es verdadera o falsa, en otras palabras, si toma el valor de verdad o falsedad.
Sin embargo, esto no cambia el hecho de que existe sólo unaposibilidad, ya sea que la propuesta puede que sea verdadera o sea falsa.

También dice que es un enunciado, una afirmación que se dice de algo, pero que solo admite 2 valores: Verdadero (V) o Falso (F).
Pueden ser Simples o Compuestas.

Simples
Ejemplos:
*La Tierra es un planeta – V (es verdadero ya que la tierra es un planeta).

*El Sol es frío – F (es falso, obviamente es sol es caliente).*La Luna es de Cristal – F

*2 + 2 = 5 – F

*La Lluvia es de fuego – F

Compuestas
Las compuestas son las que constan de dos o más simples o que se pueden crear combinando conectores con proposiciones simples.

Ejemplos:
*La Tierra es un planeta y el Sol es Frio – F (Falso, porque la tierra es un planeta pero el Sol no es frio; la ‘y’ hace que las 2 simples sean Verdaderos o Falsos, perouno es correcta y otra es falsa. Si las 2 simples son correctas sería V).

*La Tierra es un planeta o el Sol es frio – V (Es verdadero, ya que la Tierra si es un planeta pero el Sol no es frio; la ‘o’ hace diferencia en que uno es verdadero).

*La rosa es una flor y el aguacate es una máquina – F.

*El Sol es una estrella y la Tierra un planeta – V.

*Los mangos son dulces o los limonesson agrios – V.



Tablas de Verdad

Para generalizar el uso de las preposiciones se representan con literales que le dan un carácter formal: p, q, r etcétera.
Las relaciones entre dos preposiciones son:
Conjunción, Disyunción, Negación, Condicional y Bicondicional.

*Conjunción
Se realiza con la conjunción gramatical ‘y’ que equivale a los signos ‘V’ (pero al revés), x, *, ‘U’ (pero alrevés).

*Disyunción
Es la conjunción gramatical ‘o’ y equivale a los signos V, +, U.

*Negación
Se representa con los signos ¬, not, entre otros.

*Condicional
Se expresa como p → q, y se lee como: p implica q, ó, p entonces q.

*Bicondicional (↔, si y sólo sí)

Se representa como p ↔ q y se lee como: p si y solo si q.
p q p V q
V
V
F
F V
F
V
F V
V
V
F
Ejemplos:
p q pΛ q
V
V
F
F V
F
V
F V
F
F
F
p ¬q
V
F F
V


Conjunción Disyunción Negación

p q p → q
V
V
F
F V
F
V
F V
F
V
V
p q p ↔ q
V
V
F
F V
F
V
F V
F
F
V

Condicional Bicondicional

Más compleja
p q ¬ q p Λ ¬ q ¬ ( p Λ ¬ q)
V
V
F
F V
F
V
F F
V
F
V F
V
F
F V
F
V
V










Traducción del lenguaje natural al lenguajeformal
La traducción de una frase del lenguaje natural al lenguaje formal de expresiones lógicas se requiere ser cuidadoso, de no cambiar el sentido de las frases.

Ejemplo:

1.- Puedes solicitar un libro a la biblioteca sólo si estudias en la Universidad y no adeudas otro libro.
Traducción: Se denota Puedes solicitar un libro a la biblioteca con ‘p’; estudias en la Universidad con ‘q’.
Serepresenta como: p → (q Λ ¬ r)

2.-El gato toma leche y el perro come croquetas.
Traducción: Se denota El gato toma leche con ‘p’; el perro come croquetas ‘q’.
Se representa como: p Λ q

Traducción del lenguaje formal al lenguaje natural
Ejemplo:

p: Compro un billete de lotería
q: Gano el premio mayor

a) ¬p b) p →q c) p Λ q d)¬ p → ¬q e)¬p p Λ ¬ q

a) No compro un billete de lalotería.
b) Si compro un billete de lotería, entonces gano el premio mayor.
c) Compro un billete de lotería y gano el premio mayor
d) No compro un billete de lotería, entonces no gano el premio mayor
e) No compro un billete de lotería y no gano el premio mayor.

Tautología
Es una fórmula bien formada de un sistema de lógica proposicional que resulta verdadera para cualquier interpretación; es...