ALGEBRA BOOLEANA

Álgebra Booleana























Introduccion

La herramienta fundamental para el análisis y diseño de circuitos digitales es el Álgebra Booleana.
Esta álgebra es un conjunto de reglas matemáticas (similares en algunos aspectos al álgebra
convencional), pero que tienen la virtud de corresponder al comportamiento de circuitos basados en dispositivos deconmutación (interruptores, relevadores, transistores, etc).





































POSTULADOS DEL ÁLGEBRA DE BOOLE

Postulado 1. Definición. El álgebra booleana es un sistema algebraico definido en un conjunto
B, el cual contiene dos o más elementos y entre los cuales se definen dos operaciones
denominadas "suma u operación OR" ( + ) y "producto omultiplicación u operación AND" ( ), las
cuales cumplen con las siguientes propiedades:

Postulado 2. Existencia de Neutros. Existen en B el elemento neutro de la suma, denominado
O y el neutro de la multiplicación, denominado 1, tales que para cualquier elemento x de s:
(a) x + O = x (b) x. 1 = x

Postulado 3. Conmutatividad. Para cada x, y en B:
(a) x+y = y+x (b) x y =y x

Postulado 4.Asociatividad. Para cada x, y, z en B:
(a) x + (y + z) = (x + y) + z (b) x (y z) = (x y)  z

Postulado 5. Distributividad. Para cada x, y, z en B:
(a) x+(y z)=(x+y)   (x+z) (b) x (y+z)=(x y)+(x z)

Postulado 6. Existencia de Complementos. Para cada x en B existe un elemento único
denotado x (también denotado x’), llamado complemento de x tal que
(a) x+x = 1 (b) x   x = O

CIRCUITOS DECONMUTACIÓN
1.- Para este ejemplo de álgebra de Boole, el conjunto B es el conjunto de todos los switches o
interruptores. La operación suma de switches es la conexión en paralelo y la multiplicación de switches es la conexión en serie, como se muestra en la siguiente figura. Los valores que pueden tomar los switches son sólo dos: {ON, OFF} o bien, {1,0}.



2.- Existencia de neutros. El neutrode la suma, es un circuito abierto (un switch que siempre está abierto), mientras que el neutro del producto es un corto circuito (un switch que siempre está cerrado)

3.- Conmutatividad. Evidentemente las conexiones en serie y en paralelo funcionan de la misma manera independientemente del orden de colocación de los switches que interconectan.

4.- Asociatividad. Las conexiones en serie y enparalelo son asociativas, es decir, al conectar tres switches en paralelo, no importa cual par se conecte primero. En forma similar pasa con la conexión de tres switches en serie.

5.- Distributividad. La conexión serie es distributiva sobre la conexión en paralelo y la conexión paralelo es distributiva sobre la conexión en serie, en el sentido que se ilustra en la figura siguiente




6.-Existencia de complementos. Se puede fabricar un switch A complemento de otro switch A simplemente acoplando mecánicamente ambos, para que cuando uno se abra el otro se cierre y viceversa.

LÓGICA PROPOSICIONAL

1.- Para este ejemplo de álgebra de Boole el conjunto B es el conjunto de todos los enunciados gramaticales. La operación suma (+) es la conjunción gramatical “o” (OR), lamultiplicación es la conjunción gramatical “y” (AND) y los valores que puede tomar un enunciado gramatical son {falso,verdadero} = {F,V}.

2.- Existencia de neutros. El neutro de la suma, es un enunciado que evidentemente siempre es falso, en forma similar, el neutro de la multiplicación es un enunciado que evidentemente siempre es verdadero.

3.- Conmutatividad. Evidentemente las conjunciones “y”, “o” noalteran el sentido del enunciado total, independientemente del orden en que son tomados.

4.- Asociatividad. Las conjunciones “y”, “o” son asociativas, es decir, al conectar tres enunciados gramaticales con “y” o con “o” no importa cual par de enunciados evaluemos primero para determinar si el enunciado total es verdadero o falso.

5.- Distributividad. La conjunción “y” es distributiva...