algebra booleana

ÁLGEBRA BOOLEANA:
El álgebra booleana (también llamada algebra de Boole) es un sistema matemático deductivo centrado en los valores cero y uno (falso y verdadero). Un operador binario " º " definido en éste juego de valores acepta un par de entradas y produce un solo valor booleano. Es una estructura algebraica que esquematiza las operaciones lógicas Y, O, NO y SI (AND, OR, NOT, IF), asícomo el conjunto de operaciones unión, intersección y complemento.
TEOREMAS Y POSTULADOS:
1.-Cerrado. El sistema booleano se considera cerrado con respecto a un operador binario si para cada par de valores booleanos se produce un solo resultado booleano. Para un conjunto s se dice que es cerrado para un operador binario si para cada elemento de S el operador binario especifica una regla paraobtener un elemento único de S.
Para el conjunto N = {1,2,3,4,…} es cerrado con respecto al operador binario (+) por las reglas de la adición aritmética, ya que para que cualquier elemento a,b pertenecientes a N por la operación a + b = c el conjunto de los números naturales no esta cerrado con respecto al operador binario (-) por la regla de la resta aritmética, debido a que 2-3 = -1 y 2,3pertenecen a N pero -1 no pertenece a N.
2.-Conmutativo. Se dice que un operador binario " º " es conmutativo si A º B = B º A para todos los posibles valores de A y B.
3.-Asociativo. Se dice que un operador binario " º " es asociativo si (A º B) º C = A º (B º C) para todos los valores booleanos A, B, y C.4.-Distributivo. Dos operadores binarios " º " y " % " son distributivos si A º (B % C) = (A º B)% (A º C) para todos los valores booleanos A, B, y C.
Siempre que: x*(y . z) = (x*y) . (x*z)
- El operador binario (+) define la adición. - Identidad aditiva es el cero. - La inversa aditiva define la sustracción. - El operador binario (.) define la multiplicación. - Identidad multiplicativa es 1. - Inversa multiplicativa de A es igual a 1/A define la división esto es  A * 1/A = 1 - La únicaley distributiva aplicable es la de operador (.) sobre el operador + (.) sobre (+)    a(b+c)=(a.b) +(a.c)
5,.Identidad. Un valor booleano I se dice que es un elemento de identidad con respecto a un operador binario " º " si A º I = A.
6.-Inverso. Un valor booleano I es un elemento inverso con respecto a un operador booleano " º " si A º I = B, y B es diferente de A, es decir, B es el valoropuesto de A.
Para definir formalmente el álgebra de Boole se emplean postulados de Huntington.
a) Cierre con respecto al operador (+)
b) Cierre con respecto al operador (.)
a) Un elemento identidad con respecto al operador (+), designado por el cero x+0 =0+x=x
b) Un elemento identidad con respecto al operador (.) designado por el uno x*1=1*x=x
a)Conmutativo con respectoal operador (+) : x+y = y+x
b) Conmutativo con respecto al operador (.) : x*y =y*x
a)El operador (.) es distributivo sobre el operador (+) : x.(y+z) = (x.y) + (y.z) b) El operador (+) es distributivo sobre el operador (.) : x+(x.z) = (x+y) . (x+z)
Para cada elemento de x pertenencia a B existe un elemento x’ complemento perteneciente a B denominado complemento de x tal que:
a) x+x’ = 1
b)x’ = 0
Postulado 2                       a) x + 0 = x                             b) x . 1 = x Postulado 5                    a) x + x’ = 1                            b) x . x’ = 0 Teorema 1                       a) x + x = x                             b) x . x = x Teorema 2      a) x + 1 = 1                             b) x . 0 = 0 Teorema 3 involución      (x’)’ = x Teorema 3conmutativo  a) x + y = y + x                        b) xy = yx Teorema 4 asociativo   a) x + (y + z) = (x + y) +z         b) x (yz) = (xy) z Postulado 4 distributivo a) x (y + z) = xy +xz             b) x + yz = (x + y)(x+z) Teorema 5 morgan         a) ( x + y)’ = x’ y’                    b) (xy) = x’ + y’ Teorema 6 absorción    a) x + xy = x                             b) x (x + y) =...