Algebra De Baldor

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ALGEBRA

POR: FRANCISCO RIVERO

Departamento de Matem´ticas a Facultad de Ciencias Universidad de los Andes M´rida - Venezuela e

Contenido

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Contenido

Introducci´n o
El presente libro contiene el material de Algebra, de un curso de un semestre, para estudiantes de la carrera de Matem´ticas o Educaci´n. a o El plan de la obra consiste en dar una exposici´nde las tres estruco turas algebraicas fundamentales, como son: los grupos, los anillos y los cuerpos, mediante el estudio de sus propiedades m´s resaltantes con a suficientes ejemplos. Cada cap´ ıtulo contiene una buena cantidad de ejercicios, los cuales complementan la teor´ y permiten tener un manejo pr´ctico de los ıa a conceptos y resultados obtenidos en el texto. En los cap´ ıtulos 1-4 seestudian los grupos, comenzando por las definiciones b´sicas del cap´ a ıtulo 1, en donde se obtiene el teorema de Lagrange, hasta el teorema de la Descomposici´n para Grupos Abelianos o Finitos en el cap´ ıtulo 4. Se ha incluido un cap´ ıtulo especial para el grupo de las Permutaciones, dada la importancia del mismo. En este se demuestra la simplicidad del grupo Alternante An , para n ≥ 5. La teor´ deanillos se estudia en los cap´ ıa ıtulos 5-7. Se definen los anillos m´s importantes del ´lgebra conmutativa como son los complea a jos, los polinomios y las matrices. Tambi´n se estudian los enteros de e Gauss, como un ejemplo de anillo Euclideano. Dentro del cap´ ıtulo dedicado a los polinomios, se destacan algunos hechos de la teor´ cl´sica, ıa a como el estudio de la factorizaci´n y el c´lculode las ra´ o a ıces, as´ como ı tambi´n aspectos m´s modernos como lo es la condici´n de Dominio de e a o Factorizaci´n Unica. o En el ultimo cap´ ´ ıtulo se estudian los cuerpos y sus propiedades m´s a importantes. En particular se estudian las extensiones algebraicas de los racionales.

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Algebra

Cap´ ıtulo

1 Los N´ meros Enteros u
1.1 Introducci´n o

En este cap´ ıtulonos dedicaremos al estudio de los n´meros enteros u los cuales son el punto de partida de toda la teor´ de n´meros. Esıa u tudiaremos una serie de propiedades b´sicas de este conjunto, que son a fundamentales para el posterior desarrollo de esta materia, como lo son el algoritmo de la divisi´n y el teorema de la factorizaci´n unica. o o ´ Advertimos al lector sobre la necesidad de estudiarcuidadosamente el material expuesto en todas estas secciones de este cap´ ıtulo, antes de pasar a los siguientes. El enfoque usado en estas notas consiste en exponer inicialmente las propiedades b´sicas de los enteros, y a partir de ´stas, ir deduciendo a e propiedades m´s avanzadas, como proposiciones, teoremas,..etc. En a ning´n momento nos planteamos dar un tratamiento formal y riguroso u del tema delos n´meros enteros, cosa que esta fuera del alcance de u este curso. Para un estudio completo acerca de la construcci´n de los o enteros a partir de los naturales, ver [?].

1.2

Definiciones B´sicas a

Supondremos que el lector est´ familiarizado con la notaci´n de cona o junto y adem´s maneja los conceptos de pertenencia, inclusi´n, uni´n a o o e intersecci´n. o Definici´n 1.2.1 Sean A y Bdos conjuntos, una funci´n de A en o o B, es una ley que asocia a cada elemento a de A, un unico elemento b ´ de B. 1

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Cap´ ıtulo 1. Los N´ meros Enteros u

Usamos la letra f para indicar la funci´n, o bien el s´ o ımbolo f : A −→ B. El elemento b se llama la imagen de a bajo la funci´n f , o y ser´ denotada por f (a). a Definici´n 1.2.2 Sea f : A −→ B una funci´n y E un subconjunto o o deA, entonces la Imagen de E bajo f es el conjunto f (E) = {b ∈ B | b = f (c), para alg´n c en E}. u Es claro que f (E) es un subconjunto de B. Definici´n 1.2.3 Sea f : A −→ B una funci´n y G es un subconjunto o o de B, la imagen inversa de G bajo f es el conjunto f −1 (G) = {d ∈ A | f (d) ∈ G}. Definici´n 1.2.4 Una funci´n f : A −→ B se dice Inyectiva si para o o todo b en B, f −1 ({b}) posee a lo...