algebra de lehman

Unidad 4.- Relaciones

Relaciones entre conjuntos
Parejas ordenadas
El orden de los elementos en un conjunto de dos elementos no interesa, por ejemplo:
{3, 5} = {5, 3}
Por otra parte, una pareja ordenada consiste en dos elementos, de los cuales uno designa el
primer elemento, y el otro, el segundo. Tal pareja ordenada se escribe (a, b), en donde a es el
primer elemento y b es el segundo.Dos parejas ordenadas (a, b) y (c, d) son iguales si y
solamente si a = c y b = d.
Producto cartesiano
Considere dos conjuntos arbitrarios A y B. El conjunto de todas las parejas ordenadas (a, b) en
donde a ∈ A y b ∈ B se llama producto o producto cartesiano de A y B.
La definición de producto cartesiano puede extenderse fácilmente al caso de más de dos
conjuntos.
Se llama productocartesiano de dos conjuntos A y B y se representa A x B, al conjunto de
pares ordenados (a, b), tales que el primer elemento pertenece al primer conjunto y el segundo
elemento al segundo conjunto. Es decir:
A x B = {(a, b) / a ∈ A, b ∈ B}
El producto cartesiano, en general, no es conmutativo. Es decir: A x B ≠ B x A.
Puede ocurrir que los conjuntos A y B sean coincidentes.
EJEMPLO
Si A = {a, b, c}y B = {1, 2, 3, 4}, el producto cartesiano es:
A x B = {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (a, 4), (b, 1), (b, 2), (b, 3), (b, 4), (c, 1), (c, 2), (c, 3), (c, 4)}
Se puede representar gráficamente por medio de puntos en un plano, como se muestra a
continuación. Aquí, cada punto P representa una pareja ordenada (a, b) de números reales y
viceversa; la línea vertical a través de P encuentra al eje x en a,y la línea horizontal a través de P
encuentra el eje y en b. A esta representación se le conoce como diagrama cartesiano.
B
4
3
2
1
a

Ing. Miguel Ángel Durán Jacobo

b

c

A
1

Unidad 4.- Relaciones

Hay otra manera de visualizar una relación y es a través de una representación gráfica, donde se
destaquen los puntos en el plano que pertenecen a A y los puntos que pertenecena B. Se trazan
flechas que indican la relación que existe entre cada elemento del conjunto A y su
correspondiente en el conjunto B. A esta representación gráfica se le conoce como un diagrama
de flechas.
A
a•
b•

c•

B

•1
•2
•3
•4

Correspondencias y aplicaciones entre conjuntos1
A partir de la definición de producto cartesiano, introduciremos las relaciones más importantes
quese pueden establecer entre los elementos de dos conjuntos dados.
Correspondencias
Dados dos conjuntos A y B, se denomina correspondencia ƒ entre A y B a un subconjunto del
producto cartesiano de A por B.
Al conjunto de los pares de una correspondencia se le denomina grafo, y se representa
por G.
Se definen también los siguientes conjuntos:
• El conjunto A es el conjunto inicial o conjuntode partida, que es del que salen las
flechas.
• El conjunto B es el conjunto final o conjunto de llegada, que es al que llegan las
flechas.
• El conjunto original es el conjunto formado por los elementos del conjunto inicial de
los que parte alguna flecha. Por tanto, el conjunto original está incluido en el conjunto
inicial.
• El conjunto imagen es el conjunto formado por los elementos delconjunto final a los
que llega alguna flecha. Por tanto, el conjunto imagen está incluido en el conjunto
final.

1

El símbolo ∇ se lee “para cada”, “para toda” o “para cualquier”
El símbolo ∃ se lee “existe” o “para alguna”
El símbolo ∴ se lee “por lo tanto” igualmente que el símbolo ├
El símbolo ≡ se lee “lógicamente equivalente” o “sencillamente iguales”

Ing. Miguel Ángel DuránJacobo

2

Unidad 4.- Relaciones

EJEMPLO
Si A = {a, b, c}, B = {1, 2, 3, 4}, y un grafo G = [(a, 2), (b, 2), (b, 3), (c, 4)}. Vemos que
G es un subconjunto de A x B, es decir, G ⊂ (A x B).
La correspondencia está representada gráficamente en:
a) un diagrama cartesiano.
B
4
3
2
1
a

b

c

A

b) Un diagrama de flechas.
A

B

a•

•1

b•
c•

•
•
•
•

•2
•3
•4...