Algebra lineal 1

´
Algebra
Lineal I: Conjuntos, Relaciones y Funciones
Jos´e Mar´ıa Rico Mart´ınez
Departamento de Ingenier´ıa Mec´anica
Facultad de Ingenier´ıa Mec´anica El´ectrica y Electr´onica
Universidad de Guanajuato
email: jrico@salamanca.ugto.mx

1.

Conjuntos
Un conjunto es una colecci´on de objetos llamados elementos. Un conjunto S se denota por
S = {x | x satisface la propiedad P }

y est´a formado portodos los objetos x que satisfacen la propiedad P . Si x pertenece al conjunto S, se
denota x ∈ S. En caso contrario, x no pertenece a S y se denota como x ∈
/ S.
La uni´
on de dos conjuntos S1 y S2 , denotado como S1 ∪ S2 , se define como el conjunto de todos los
elementos x que pertenecen a S1 o que pertenecen a S2 , es decir
S1 ∪ S2 = {x | x ∈ S1

o x ∈ S2 }.

La intersecci´
on de dosconjuntos S1 y S2 , denotado como S1 ∩ S2 , se define como el conjunto de
todos los elementos x que pertenecen a S1 y que pertenecen a S2 , es decir
S1 ∩ S2 = {x | x ∈ S1

y x ∈ S2 }.

El conjunto vac´ıo, denotado por ∅, es el conjunto que no contiene elemento alguno. Un conjunto S1
es un subconjunto de S2 , denotado por S1 ⊆ S2 , si x ∈ S1 implica que x ∈ S2 , o alternativamente
S1 ∪ S2 = S2 .
Dosconjuntos S1 y S2 son iguales, denotado S1 = S2 si ambos conjuntos tienen los mismos elementos;
es decir si
S1 ⊆ S2 y S2 ⊆ S1 .
Debe notarse que si S1 ⊆ S2 , es posible que S1 = S2 . Si S1 ⊆ S2 , pero se sabe que S1 = S2 , entonces
se denota S1 ⊂ S2 y se dice que S1 es un subconjunto propio de S2 . Todo conjunto S2 tiene como
subconjuntos impropios a si mismo y al conjunto vac´ıo ∅. Finalmente, dosconjuntos S1 y S2 son
disjuntos o excluyentes si
S1 ∩ S2 = ∅.
Ejemplos: Considere los siguientes tres conjuntos
S1
S2

= {Salamanca, Valle de Santiago, Irapuato, Villagr´an, Cortazar}
= {Le´on, Romita, Silao, Penjamo, Irapuato}

S3

= {Miguel, Rosa, Jes´
us, Carmen}

1

Entonces, es posible realizar, las siguientes operaciones
S1 ∪ S2

= {Salamanca, Valle de Santiago, Irapuato, Villagr´an, Cortazar,Le´on, Romita, Silao, Penjamo}

S1 ∩ S2
S2 ∪ S3
S1 ∩ S3

= {Irapuato}
= {Le´on, Romita, Silao, Penjamo, Irapuato, Miguel, Rosa, Jes´
us, Carmen}
= ∅

2.

Relaciones

El producto Cartesiano de dos conjuntos S1 y S2 , denotado por S1 × S2 , es el conjunto de parejas
ordenadas (a, b), donde a ∈ S1 y b ∈ S2 ; es decir
S1 × S2 = {(a, b) | a ∈ S1

y

b ∈ S2 }.

Considere el producto cartesiano S1 ×S2 dedos conjuntos S1 y S2 y sea B ⊆ S1 ×S2 , entonces B define
una relaci´
on en S1 × S2 de la siguiente manera, si (a, b) ∈ B, entonces se dice que a est´a relacionado con
b.
Ejemplos: Empleando, los conjuntos S1 , S2 y S3 definidos en estas notas, calcule los productos
cartesianos S1 × S2 y S3 × S2 .
Cuadro 1: Producto Cartesiano S1 × S2
Le´on
Romi
Silao
Penja
Ira

Sal
(Sal,Le´on)
(Sal,Romi)(Sal,Silao)
(Sal,Penja)
(Sal,Ira)

Valle
(Valle,Le´on)
(Valle,Romi)
(Valle,Silao)
(Valle,Penja)
(Valle,Ira)

Ira
(Ira,Le´on)
(Ira,Romi)
(Ira,Silao)
(Ira,Penja)
(Ira,Ira)

Villa
(Villa,Le´on)
(Villa,Romi)
(Villa,Silao)
(Villa,Penja)
(Villa,Ira)

Corta
(Corta,Le´on)
(Corta,Romi)
(Corta,Silao)
(Corta,Penja)
(Corta,Ira)

Cuadro 2: Producto Cartesiano S3 × S2
Le´on
Romi
Silao
Penja
Ira

Miguel(Miguel,Le´on)
(Miguel,Romi)
(Miguel,Silao)
(Miguel,Penja)
(Miguel,Ira)

Rosa
(Rosa,Le´on)
(Rosa,Romi)
(Rosa,Silao)
(Rosa,Penja)
(Rosa,Ira)

Jes´
us
(Jes´
us,Le´on)
(Jes´
us,Romi)
(Jes´
us,Silao)
(Jes´
us,Penja)
(Jes´
us,Ira)

Carmen
(Carmen,Le´on)
(Carmen,Romi)
(Carmen,Silao)
(Carmen,Penja)
(Carmen,Ira)

Ejemplo: Empleando el producto cartesiano S1 × S2 , defina la siguiente relaci´on. El municipio a ∈ S1
eslim´ıtrofe con el municipio b ∈ S2 , con la provisi´on de que todo municipio es lim´ıtrofe consigo mismo.
Para determinar esta relaci´on necesitamos el conocimiento geogr´afico, mostrado en la figura 1
La relaci´on se muestra en una copia del producto cartesiano S1 ×S2 , vea 3, los miembros de la relaci´on
se indican en negritas.
Note que esta relaci´on constituye un subconjunto de S1 × S2 .

2...