Algebra matricial

Una matriz es un ordenamiento rectangular de datos:
0
1
a11 a12 ::: a1K
Ba
a22 ::: a2K C
C
A = B 21
@
A
:::
an1 an2 ::: anK

un elemento cualquiera de la matriz A se denomina aik ; donde i indica la …la y
k identi…ca la columna. En econometría, las …las van a estar identi…cadas con
observaciones y las columnas con variables.
Un vector es un conjunto ordenado de valores, ya sea enuna …la o en una
columna. Un vector …la, es también una matriz con una sola …la.
La dimensión de una matriz es la cantidad de …las y columnas que contiene.
Si A es una matriz de nxK, entonces es una matriz que tiene n …las y K
columnas.
Tipos de matrices comunes en econometría:
Una matriz cuadrada es una en la cual n = K
Una matriz simétrica es una en la cual aik = aki 8i; 8k:
Una matrizdiagonal es una matriz cuyos únicos valores distintos de cero
se encuentran en la diagonal principal.
Una matriz escalar es una matriz diagonal con el mismo valor en todos los
elementos de la diagonal
Una matriz identidad es una matriz escalar con todos unos en la diagonal.
Esta matriz siempre se denota I. En ocaciones se incluye un subíndice para
indicar su tamaño (o orden) Por ejemplo I(4)es una matriz identidad de
tamaño 4 o 4x4:
Una matriz triangular es una matriz que tiene todos ceros por arriba o
por debajo de la diagonal principal. Si los ceros estan por arriba de la
diagonal, la matriz es diagonal inferior.

0.1
0.1.1

Operaciones con Matrices
Igualdad

Dos matrices son iguales si todos sus elementos son iguales, es decir A = B ,
aik = bik 8i; 8k:
0.1.2Transposición

La transpuesta de la matriz A (llamada A0 ) se obtiene creando una matriz
cuya k-ésima …la es la k-ésima columna de la matriz original. Por lo tanto,
si A es nxK , entonces A0 es Kxn: Matemáticamente, B = A0 , bik = aki
8i; 8k: Por de…nición de matriz simétrica, si A es simétrica, entonces (A0 )0 = A.
Finalmente, la transpuesta de un vector columna a es un vector …la.
1

0.1.3Suma de Matrices

Dos matrices son conformables para la suma (es decir, se pueden sumar) si
ambas tienen las mismas dimenciones.
C
D
E

= A + B = [aik + bik ]
= A B = [aik bik ]
= A+0=A

donde 0 es una matriz con todos ceros.
La suma de matrices es conmutativa:
A+B =B+A
y asociativa:
(A + B) + C = A + (B + C)
y además:
(A + B)0 = A0 + B 0
0.1.4

Multiplicación de Vectores yMatrices

Las matrices se multiplican usando el producto interno. El producto interno de
dos vectores a y b es:
a0 b = a1 b1 + a2 b2 + ::: + an bn
Notar que el producto interno está escrito en términos de "el transpuesto de a
por b". Esto es, un vector …la multiplicado por un vector columna. En el caso
de vectores,
a0 b = b0 a
Supongamos que tenemos dos matrices A y B y queremos obtenerC = AB:
En primer lugar, tenemos que comprobar que las matrices sean conformables
para la multiplicación: esto es, A tiene que tener tantas …las como columnas
tenga B. Es decir, A tiene que ser de nxK y B tiene que ser de Kxm: En general,
la multiplicación de matrices no es conmutativa, es decir que AB no es lo mismo
que BA: Es más, puede que uno de los dos productos exista, mientras que elotro
no se pueda calcular (por problemas de conformabilidad). La multiplicación de
las matrices se obtiene de la siguiente forma:
0 1
0
1
a1
a1 b1 a1 b2
Ba C
Ba b a2 b2 C
C
C = AB = B 2 C b1 b2 = B 2 1
@a3 A| {z } @a3 b1 a3 b2 A
K 2
a4 b1 a4 b2
a4
{z
}
|
| {z }
4x2

4xK

También podemos multiplicar matrices por escalares. En este caso,
equivale a multiplicar a cada elementode la matriz A por el escalar :
2

A

También podemos multiplicar matrices y vectores. Por ejemplo:
c
0 1 = Ab
0
5
4
@4A = @2
2
1

2
6
1

podemos interpretar esto como:

10 1
1
1A @ A
0

5 = 4 +2 +1
4 = 2 +6 +1
2 = 1 +1 +0
o también como:

0 1
5
@4A =
2

0 1
4
@2A +
1

0 1
0 1
1
2
@6A + @1A
0
1

Algunas propiedades de la Multiplicación de...