Algebra Matricial

ALGEBRA MATRICIAL
6.1 MATRICES
Una matriz es una tabla cuadrada o rectangular de datos ordenados en filas y columnas, donde una fila es cada una de las líneas horizontales de la matriz y una columna es cada una de las líneas verticales.
Tales arreglos rectangulares se consideran objetos en sí mismos; se acostumbra encerrarlos en corchetes, y también en paréntesis. En la representaciónsimbólica de matrices se usaran letras mayúsculas en negritas.

En economía resulta conveniente utilizar matrices para formular problemas y desplegar datos. Los renglones de una matriz están numerados de manera consecutiva de arriba hacia abajo, y las columnas están numeradas en forma consecutiva de izquierdo a derecha.
 Una matriz 1 × n (una fila y n columnas) se denomina vector fila, y una matriz m ×1 (una columna y m filas) se denomina vector columna.
En Matrices no se deben utilizar barras verticales, en lugar de corchetes o paréntesis, porque tienen un significado diferente.
Los números de una matriz se conocen como entradas. Para denotar las entradas arbitrarias de una matriz, por ejemplo una de tamaño 2x3 es:
33-12 3 1
IGUALDAD DE MATRICES
Las matrices A= [aij] y B = [bij] soniguales si y solo si tiene el mismo tamaño y aij = bij para cada I y j, esto quiere decir las entradas correspondientes son iguales.
Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión y los elementos que ocupan la misma posición en ambas son iguales |
| Para que las matrices  A  y  B  sean iguales, se tiene que cumplir que  a = 7  y  b = 5. |
TRANSPUESTA DE UNA MATRIZ
Dada unamatriz  A, se llama traspuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando ordenadamente las filas por las columnas.
Se representa por   AT

 Propiedades
Para toda matriz A

MATRICES ESPECIALES
Una matriz de mxn y se denota por Omxn o de manera simple O si se sobreentiende su tamaño, así la matriz cero de 2x3 es:
0 = 0000 0 0
Matriz cuadrada
Aquella matriz que tiene igual número de filasque de columnas, m = n, diciéndose que la matriz es de orden n.

Diagonal principal : son los elementos  a11 , a22 , ..., ann  

Diagonal secundaria : son los elementos  aij con   i+j = n+1

Traza de una matriz cuadrada: es la suma de los elementos de la diagonal principal tr A.
Se dice que una matriz cuadrada A es una matriz triangular superior si todas las entradas debajo de la diagonalprincipal son cero, se dice que una matriz A es una matriz triangular inferior si todas las entradas por arriba de la diagonal principal son cero.

es triangular superior y

es triangular inferior.

6.2 SUMA DE MATRICES Y MULTIPLICACION POR UN ESCALAR
Suma de matrices
Si las matrices A=(aij) y B=(bij) tienen la misma dimensión, la matriz suma es:
A+B=(aij+bij).
La matriz suma se obtienesumando los elementos de las dos matrices que ocupan la misma posición.

Propiedades de la suma de matrices
1. A + (B + C) = (A + B) + C (propiedad asociativa)
2. A + B = B + A (propiedad conmutativa)
3. A + 0 = A (0 es la matriz nula)
4. La matriz –A, que se obtiene cambiando de signo todos los elementos de A, recibe el nombre de matriz opuesta de A, ya que A + (–A) = 0.
Ladiferencia de matrices A y B se representa por A–B, y se define como: A–B = A + (–B)
MULTIPLICACION POR UN ESCALAR
Dada una matriz A=(aij) y un número real k  R, se define la multiplicación de un número real por una matriz a la matriz del mismo orden que A, en la que cada elemento está multiplicado por k.
k · A=(k aij)

Propiedades:

SUSTRACCIÓN DE MATRICES
Si A es cualquier matriz, entoncesel múltiplo escalar (-1) A se escribe simplemente como –A y se denomina negativo de A:
Así, si: -A = (-1)A
A= 31-45
Entonces
-A= (-1) 31-45= -3-14-5
Se observa que –A es la matriz que se obtiene al multiplicar cada entrada de A por -1. La sustracción de matrices se define en términos de la suma de matrices.
6.3 MULTIPLICACION DE MATRICES
La multiplicación de dos matrices con dimensiones...