Algebra Matricial

Matriz
En matemáticas, una matriz es una ordenación rectangular de números, o más generalmente, una tabla consistente en cantidades abstractas que pueden sumarse y multiplicarse.
Una matriz es una tabla o arreglo rectangular de números. Los números en el arreglo se denominan elementos de la matriz.
Las líneas horizontales en una matriz se denominan filas y las líneas verticales se denominancolumnas. A una matriz con m filas y n columnas se le denomina matriz m-por-n (escrito m×n), y m y n son sus dimensiones. Las dimensiones de una matriz siempre se dan con el número de filas primero y el número de columnas después.
La entrada de una matriz A que se encuentra en la fila i-ésima y la columna j-ésima se le llama entrada i,j o entrada (i,j)-iésima de A. Esto se escribe como Ai,j oA[i,j].
Normalmente se escribe para definir una matriz A m × n con cada entrada en la matriz A[i,j] llamada aij para todo 1 ≤ i ≤ m y 1 ≤ j ≤ n. Sin embargo, la convención del inicio de los índices i y j en 1 no es universal: algunos lenguajes de programación comienzan en cero, en cuál caso se tiene 0 ≤ i ≤ m − 1 y 0 ≤ j ≤ n − 1.
Una matriz con una sola columna o una sola fila se denomina a menudovector, y se interpreta como un elemento del espacio euclídeo. Una matriz 1 × n (una fila y n columnas) se denomina vector fila, y una matriz m × 1 (una columna y m filas) se denomina vector columna.
Ejemplo
La matriz

Es una matriz 4x3. El elemento A[2,3] o a2,3 es 7.
La matriz

Es una matriz 1×9, o un vector fila con 9 elementos

EJEMPLO



Se dice que dos matrices del mismoorden son iguales solamente si todos sus elementos correspondientes son también iguales, es decir, si las matrices son idénticas. Observemos que, por definición, las matrices que son de diferente orden no pueden ser iguales.

EJEMPLO

Si




Suma de Matrices
Dadas las matrices m-por-n A y B, su suma A + B es la matriz m-por-n calculada sumando los elementos correspondientes (i.e.(A + B)[i, j] = A[i, j] + B[i, j] ). Es decir, sumar cada uno de los elementos homólogos de las matrices a sumar. Por ejemplo:


La suma de dos matrices A = (aij)m×n y B = (bij)p×q de la misma dimensión (equidimensionales) : m = p y n = q es otra matriz C = A+B = (cij)m×n = (aij+bij)
Propiedades de la Suma de Matrices
• Asociativa
Dadas las matrices m×n A, B y C
A + (B + C) = (A +B) + C
• Conmutativa
Dadas las matrices m×n A y B
A + B = B + A
• Existencia de matriz cero o matriz nula
A + 0 = 0 + A = A
• Existencia de matriz opuesta
Con -A = [-aij]
A + (-A) = 0

Producto de una Matriz por un Escalar
Dada una matriz A y un número c, el producto escalar cA se calcula multiplicando el escalar c por cada elemento de A (i.e. (cA)[i, j] = cA[i, j] ). Porejemplo:


Producto de escalares por matrices
Propiedades del Producto Escalar
Sean A y B matrices y c y d escalares.
• Clausura: Si A es matriz y c es escalar, entonces cA es matriz.
• Asociatividad: (cd)A = c(dA)
• Elemento Neutro: 1•A = A
• Distributividad:
• De escalar: c(A+B) = cA+cB
• De matriz: (c+d)A = cA+dA
Producto de Matrices
El producto de dos matrices se puede definirsólo si el número de columnas de la matriz izquierda es el mismo que el número de filas de la matriz derecha. Si A es una matriz m×n y B es una matriz n×p, entonces su producto matricial AB es la matriz m×p (m filas, p columnas) dada por:

Para cada par i y j.
Por ejemplo:

El producto de dos matrices no es conmutativo, es decir, AB ≠ BA. La división entre matrices, es decir, la operaciónque podría producir el cociente A / B, no se encuentra definida. Sin embargo, existe el concepto de matriz inversa, sólo aplicable a las matrices cuadradas.
Inversa de una Matriz
La inversa de una matriz es 1 dividido por el determinante de dicha matriz, multiplicado por sus adjuntos transpuestos. Por tanto no siempre existe, y para que así sea su determinante tendrá que ser distinto de...