Algebra Parciales Transformaciones Lineales Y Valores Propios

U N E X P O

UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITÉCNICA “ANTONIO JOSÉ DE SUCRE” VICERRECTORADO DE BARQUISIMETO DEPARTAMENTO DE ESTUDIOS GENERALES Y BÁSICOS SECCIÓN DE MATEMÁTICAS

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Secci´n o Fecha 07/03/2005

´ Cuarto Examen Parcial de Algebra Lineal - Sustitutivo (25 %) Apellidos C´dula e Profesor Nombres

LEA CUIDADOSAMENTE CADA PREGUNTA ANTES DE RESPONDERLA JUSTIFIQUE SUSRESPUESTAS DEBIDAMENTE TRABAJE ORDENADAMENTE Y ESCRIBA DE FORMA CLARA Y LEGIBLE Primera parte. Verdadero o Falso. Decidir sobre la veracidad o falsedad de la siguientes proposiciones. 1. Si λ es un valor propio de A, entonces λ2 es un valor propio de A2 . 2. Si A es invertible, entonces todos sus valores propios son distintos de 0. 3. Si A es diagonalizable, entonces todos sus valores propios son realesy distintos. Segunda parte. Desarrollo. Responda las siguientes preguntas razonando sus respuestas suficientemente. 1. Considere la aplicaci´n T : M2×2 → P3 dada por: o T a b c d = (a−b+2c+d)+(−a+2c+2d)x+(a−2b+5c+4d)x2 +(2a−b+c−d)x3 (2 ptos.)

(2 ptos. c.u.)

a) Pruebe que T es una transformaci´n lineal o

b) Hallar la matriz de la transformaci´n, el n´ cleo, la imagen, el rango y la nulidado u de T . (4 ptos.) 2. Dada la matriz 4 1  2 3 A=  −2 1 2 −1   0 1 0 1   2 −3  0 5 (2 ptos.) 1

a) Hallar los valores propios de A.

b) ¿Cu´l es la multiplicidad algebr´ica y geom´trica de cada uno de los valores a a e propios de A? (3 ptos.) c) ¿Es A diagonalizable? en caso afirmativo halle la matriz C tal que C −1 AC es diagonal. (1 pto.) 3. Sean V y W espacios vectoriales reales.Pruebe que T : V → W es una transformaci´n lineal si y s´lo si para cualesquiera u, v ∈ V y α ≥ 0 se tiene que o o T (u + αv) = T (u) + αT (v) (3 ptos.) 4. Sea T : V → V una transformaci´n lineal. Sean β1 y β2 bases de V. Si AT es la o representaci´n matricial de T en la base β1 y BT es la representaci´n matricial de o o T en la base β2 , pruebe AT y BT son similares. (4 ptos.)

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U N E X P OUNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITÉCNICA “ANTONIO JOSÉ DE SUCRE” VICERRECTORADO DE BARQUISIMETO DEPARTAMENTO DE ESTUDIOS GENERALES Y BÁSICOS SECCIÓN DE MATEMÁTICAS

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Secci´n o Fecha 26/03/2007

´ Cuarto Examen Parcial de Algebra Lineal (25 %) Apellidos C´dula e Profesor Nombres

LEA CUIDADOSAMENTE CADA PREGUNTA ANTES DE RESPONDERLA JUSTIFIQUE SUS RESPUESTAS DEBIDAMENTE TRABAJEORDENADAMENTE Y ESCRIBA DE FORMA CLARA Y LEGIBLE 1. Considere la transformaci´n lineal T : M2×2 (R) → P2 dada por: o T a b c d = (a + b − c) + (a + 2b + c + d)x + (−a − 3b − 3c − 2d)x2

a) Encuentre la matriz de la Transformaci´n con respecto a las bases can´nicas o o de M2×2 (R) y P2 . (2 ptos.) b) Encuentre: 1) El n´cleo y la nulidad de la transformaci´n. u o 2) La imagen y el rango de latransformaci´n. o 2. Dada la matriz 4 1  2 3 A=  −2 1 2 −1   0 1 0 1   2 −3  0 5 (2 ptos.) (3 ptos.) (2 ptos.)

a) Hallar los valores propios de A.

b) ¿Cu´l es la multiplicidad algebraica y geom´trica de cada uno de los valores a e propios de A? (4 ptos.) c) ¿Es A diagonalizable? en caso afirmativo halle la matriz invertible C y la matriz diagonal D tal que D = C −1 AC. (2 ptos.) 3. Sea T :V → V una transformaci´n lineal. Sean β1 y β2 bases de V. Si AT es la o representaci´n matricial de T en la base β1 y BT es la representaci´n matricial de o o T en la base β2 , pruebe AT y BT son similares. (5 ptos.) 4. Sea la aplicaci´n T : R3 → P1 tal que T (1, −2, −1) = 2 + 4x, T (0, 1, −2) = −1 y o T (1, −2, 0) = 5 − 3x. ¿Es T lineal? en caso afirmativo halle T (x, y, z). (5 ptos.) 1

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UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITÉCNICA “ANTONIO JOSÉ DE SUCRE” VICERRECTORADO DE BARQUISIMETO DEPARTAMENTO DE ESTUDIOS GENERALES Y BÁSICOS SECCIÓN DE MATEMÁTICAS

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Secci´n o Fecha 29/03/2007

´ Cuarto Examen Parcial de Algebra Lineal - Sustitutivo (25 %) Apellidos C´dula e Profesor Nombres

LEA CUIDADOSAMENTE CADA PREGUNTA ANTES DE RESPONDERLA JUSTIFIQUE SUS RESPUESTAS...