Transformaciones lineales

TRANSFORMACIONES LINEALES

Definición
Sean (V, +, ◦, K), (W, ⊕, ∗, K) dos espacios vectoriales sobre el cuerpo
K. Una aplicación o función T: V→ W es una transformación lineal si
A) T (v1 +v2) =T (v1) ⊕T (v2); ∀v1, v2 ∈V.
B) T (k◦ v) = k∗ T (v); ∀v ∈V, ∀k ∈K.
Observación .Sea T: V→ W una transformación lineal, entonces:
a) Para simplificar la notación denotaremos las operaciones enlos espacios con el mismo
Símbolo diciendo:
T: V→ W es una transformación lineal si
a) T (v1 +v2) =T (v1) +T (v2); ∀v1, v2 ∈V.
b) T (kv) =k T (v); ∀v ∈V, ∀k ∈K

b) T es lineal si preserva las operaciones del espacio vectorial.

c) El cero del espacio V se transforma en el cero del espacio W, es decir, T (0V) = 0Wya que, usando la definicion, con k = 0 se consigue T (0V)=T (0·v) =0·T (v) = 0W.
Usando la contra positiva concluimos: si T (0v) = 0W entonces T: V→ W no es una
Transformación lineal.

Ejemplo 13.1.1.Verifique que la transformaci´onT:R2→ R3 tal que T (x, y)
=(x + y, y, x− y), es una transformación lineal.
Solución.
a) Sean v1 = (x, y),v2 = (p, q)∈R2, entonces
T (v1+ v2)= T(x+ p, y+ q)
= ((x +p) + (y +q), y +q, (x +p) − (y +q))= ((x +y) + (p +q),y +q, (x− y) + (p− q))=(x +y, y, x− y) + (p +q, q, p− q)
=T(x, y)+ T (p, q)
= T (v1)+T (v2)
b) Sean v = (x, y)∈R2,k∈R, entonces:
T (kv)= T (kx, ky)
= (kx +ky, ky, kx− ky)
=k(x +y, y, x− y)
=kT (x, y)
=k (Tv)
Así, T es una transformación lineal.

Ejemplo 13.1.2.Verifique si la transformaci´onT:R2→ R3 tal que T (x, y)
=(x+ y, x−Y +2, y), es una transformación lineal

Solucióna) Seanv1 = (x, y),v2 = (p, q)∈R2, entonces
T (v1+ v2)= T(x+ p, y+ q)
= ((x +p) + (y +q), y +q, (x +p) − (y +q)) = ((x +y) + (p +q), y +q, (x− y) + (p− q))=(x +y, y, x− y) + (p +q, q, p− q)
=T(x, y)+T (p, q)
=T (v1)+T (v2)

b) Sean v = (x, y)∈R2,k∈R, entonces:

T (kv)= T (kx, ky)
= (kx +ky, ky, kx− ky)
=k(x +y, y, x− y)
=kT (x, y)
=k (Tv)
Así, T es una transformación linealEjemplo 13.1.2.Verifique si la transformacionT: R2→ R3 tal que T(x, y)=(x+ y, x−
Y+2, y), es una transformación lineal.

Solución
Claramente T no es transformación lineal ya que T (0, 0) = (0, 2, 0)= (0, 0, 0).
Ejemplo. Compruebe que la transformación T: M(n,R)→ M(n,R) tal que
T(A)= MA+ AM donde Mes una matriz fija en M(n,R), es una transformación lineal.

Solución.
a) Sean A,B∈ M (n,R) entonces
T (A+ B) = M (A+ B) + (A+ B) M
= (MA +MB) + (AM +BM) = (MA +AM) + (MB +BM) =T (A) +T (B)
b) Sea A∈ M(n,R),k∈R entonces
T (KA) = M (kA) + (kA) M
=kMA +kAM
=k (MA+AM)
=kT(A)
Por a) y b), T es una transformación lineal

. DETERMINACION DE UNA TRANSFORMACION LINEAL

Para describir una transformación o función arbitraria se debe especificar su valoren cada elemento de su dominio, sinembargo, para una transformación lineal basta con conocer los valores sobre una base del espacio dominio.

Teorema 13.2.1. Sea {v1, v2,..., vn} una base del espacio vectorial VK y WK otro espacio
Vectorial tal que {w1, w2,...,wn} ⊆W entonces, existe una unica transformación lineal
T: V→ W donde T (v1)= wi, i=1,2, . . . , n.

Demostración
Encontremos una transformación lineal con laspropiedades.
Si v∈ V entonces v =a1v1 +a2v2 +··· +anvn, con a i las componentes de v en la base
{v1, v2,..., vn}. Definamos entoncesT: V →W por T (v)= a1w1+ a2w2+ · ·+anwn.
Claramente T es una transformación ya que existe un único elemento en W correspon-
diente a cada elemento de V .
Veamos que T es una transformación lineal.

Consideremos otro vector w∈ V talquew1 =c1v1 +c2v2 +··· +cnvn entonces
V+ w= (a1+ c1) v1+ (a2+ c2) v2+··· + (an+ cn)vn, luego
T (v+ w) = (a1+ c1) w1+ (a2+ c2) w2+··· + (an+ cn)wn
=a1w1 +a2w2 +··· +anwn +c1w1 +c2w2 +··· +cnwn
=T (v)+T (v1).

Ademas, T (kv) =ka1w1 +ka2w2 +··· +kanwn =kT (v).
Veamos ahora la unicidad de la transformación.
Sea S: V→ W otra transformación lineal tal que S (vi) =wi, i = 1, 2,..., n, entonces
S (v) = S...