algebra ucr

ALGEBRA LINEAL
INTRODUCCION

Un sistema general de m ecuaciones lineales algebraicas con n incógnitas:


donde xj j=1,2,…n son las variables dependientes
yi i=1,2,…m son las variables independientes
aij i=1,2,…m j=1,2,…n son coeficientes constantes
Los valores de yi son generalmente consideradas como conocidas (o dadas) y las variables xjcomo las incógnitas.
La representación de este sistema de ecuaciones es:
i=1,2,….,m
Y en forma matricial A x = y

Matrices y vectores
En general, una matriz es un arreglo rectangular de elementos. Si el arreglo tiene m filas y n columnas, se dice que es una matriz de m x n, esto es, la matriz es m x n dimensional.
Un vector fila ( m=1) a = [ a1 , a2 ,……an ]
y un vector columna (n =1)


Matrices especiales
Una matriz que tiene el mismo número de filas que de columnas (m=n) se dice que es cuadrada.
Los elementos aii i=1,2,…,n se llaman los elementos de la diagonal de la matriz A
Si todos los elementos de la matriz son cero, excepto los de la diagonal, se dice que la matriz cuadrada A es diagonal. Una matrizdiagonal, cuyos elementos en la diagonal son todos unos, se llama matriz identidad.



Operaciones elementales
Suma de matrices. Si dos matrices A y B tienen la misma dimensión, luego su suma será una matriz C de igual dimensión. Si A = [ aij ] B = [ bij ] C = [ cij ] donde C = A + B
y los elementos de C están definidos por cij = aij + bij

La suma de matrices satisface las siguientesleyes:
1. A+B = B+A ( Ley conmutatividad)
2. A+(B+C) =(A+B)+C (Ley asociatividad)
Multiplicación por escalares
Para cualquier matriz A y cualquier escalar( número real o complejo) α , el producto α A es la matriz obtenida de multiplicar cada elemento de la matriz A por el factor α.
Ejemplo. si la matriz A
A = para α = 3 αA = 3A =
Multiplicación deMatrices
Si A es una matriz m x n y B una matriz n x p, la matriz C= AB se define como una matriz de dimensiones m x p, cuyos elementos son

se dice que para multiplicar dos matrices estas tienen que ser “conformables”
C(m x p) = A(m x n) B (n x p) El número de columnas de A igual al número de filas de B

Lamultiplicación de matrices cumple con la Ley de Asociatividad
A ( B C) = ( A B ) C
Pero no con la de conmutatividad
A B # B A

Si A es una matriz cualquiera con dimensiones m x n, I una matriz identidad m x n, luego el producto de
I A = A

Producto Punto
Un caso especial de la multiplicación de matrices es el producto punto de dos vectores. Esto es, el producto de un vector filan-dimensional llamémoslo r, y un vector columna n-dimensional, llamémoslo c.
El producto es : que es de dimensión 1 x 1, o sea, un escalar.
p = [ p1 p2 p3 ] px = p1 x1 + p2x2 + p3x3 =

Matriz Transpuesta
La transpuesta de una matriz A de dimensión m x n A= [ aij ] y que se denota por AT se define como la matriz de dimensión n x m AT = [ aijT ] donde aijT = aij
Estosignifica que AT se define como la matriz resultado del intercambio de filas y columnas de A

Se cumple que (A B)T = BT AT
Derivada e integral de una matriz
Si los elementos de un matriz A dependen del tiempo, es posible efectuar la diferenciación o la integración de la matriz, y esta se define como la derivada o integración de cada elemento de la matriz.







Determinantes
Eldeterminante de una matriz A
se denota por /A/, det A o encerrando el arreglo con líneas verticales

El determinante de una matriz A (1x1 ) A = [ a ] es /A/ = a

El determinante de una matriz de 2 x 2

Expansión de Laplace
El valor del determinante correspondiente a una matriz general de nxn se puede encontrar en términos del determinante de más bajo orden,...