Algebra vectorial

CAMPO ESCALAR
En matemática y física, un campo escalar asocia un valor escalar a cada punto en un espacio. El valor puede ser un número matemático, o una cantidad física. Los campos escalares son a menudo usados en física, en caso particular para indicar la distribución de temperatura a través del espacio, o la presión del aire.
En términos matemáticos un campo escalar es una función de . Estoquiere decir que asocia cada punto de un espacio vectorial con un número o escalar . Esta función también es conocida como función de punto o función escalar.
Definamos primero, en general, lo que es un campo escalar.
Si admitimos que n variables pueden oficiar de explicativas (o independientes) en una relación funcional, diremos que estamos ante un campo escalar o función escalar de variasvariables.
Si bien es posible utilizar la notación cuando el número de variables explicativas es muy elevado, nos vemos en la necesidad de recurrir a casi todo el abecedario. Es más cómodo, utilizar una única letra (comúnmente x) con subíndices 1, 2, 3,......i,..... en cuyo caso, la variable explicada podrá indicarse con y.

Nótese la diferencia entre tomar a x1, x2 ,........xn como distintosvalores de una misma variable, como se presentó anteriormente, y el uso de dicha notación como distintas variables explicativas simultáneas del fenómeno estudiado.

Así el CAMPO ESCALAR de n variables se puede simbolizar como: , donde D es el conjunto dominio del campo e I es el recorrido del mismo.

Los elementos del dominio son n-uplas de números reales cuya graficación resulta imposiblepara n>3 y el rango es unidimensional, de manera que la representación gráfica de un campo sólo será posible cuando n = 2, pues nuestro espacio físico es de tres dimensiones y el dominio utilizará dos de ellas (el plano), quedando el otro eje (llamado normalmente z en matemática) para la representación de los distintos valores que toma el campo.
En términos gráficos, si n = 3 podrá representarseel dominio del campo, pero nos faltaría el eje para el valor de dicho campo (algunos autores lo consideran aparte).

Lo cierto es que si el dominio es unidimensional, la gráfica del campo pertenece al espacio bidimensional (función escalar de una variable); si el dominio es bidimensional, la gráfica está en el espacio de tres dimensiones (función escalar de dos variables) y como más allá esimposible representar nada, por abstracción aceptaremos que la gráfica de una función cuyo dominio pertenece a un espacio k-dimensional, estará en un espacio de dimensión ( k+1 ).
Los campos escalares de dos variables explicativas o independientes se simbolizan generalmente como . Las variables x e y ocuparán el plano conocido hasta entonces por todos, formado por los ejes de iguales nombres, yz, un tercer eje perpendicular al plano xy.
Abajo se muestra una simple representación de un campo escalar.

Clasificación De Campos Escalares
Así como las funciones escalares pueden ser simples o compuestas, con los campos escalares o funciones multivariables sucede lo mismo.
Un campo escalar es simple cuando las variables explicativas x1 , x2 ,.....xn determinan el comportamiento de y sinque exista una explicitación de relaciones entre estas variables, ni de ellas con otras. Aquí el análisis realizado de las relaciones es en extensión.
Un campo escalar compuesto analiza la vinculación de las variables explicativas con otras variables. Estos campos se asocian a estudios en profundidad, ya que se analiza la incidencia de una variable sobre otra y ésta sobre una tercera y de éstasobre la función, en una búsqueda profunda de explicación final.
La combinación de los dos análisis permite una visión bastante completa del fenómeno que se está estudiando. Cuanto más profundo, mayor conocimiento se tendrá de las verdaderas causas de la variación de la función. Esto permite que la modelización de situaciones pueda llegar a ser más detallada y rigurosa.
En este capítulo solo...