Algebra1 Guia Nociones De Logica

A LGEBRA 1 G U´I A 1
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N OCIONES DE L OGICA

1. Dadas las proposiciones: p:”3 es n´umero par”; q: ”si 4 es par entonces 9 es par”; r:”5 es n´umero primo”
a) encuentre el valor de verdad de p, q y r
b) escriba las proposiciones compuestas: p ∧ r; q∨ ∼ r; (p ∧ q) ⇒ r
c) encuentre el valor de verdad de las proposiciones en (1b)
2. Sean p, q y r proposiciones, tales que: p es V, q es V, r es F.Determine el valor de verdad de las siguientes
proposiciones:
a) (p ⇒ q) ∧ (p ∨ q)

c) (∼ p ∨ q) ⇒ (p ∧ r)

b) (r∧ ∼ q) ⇐⇒ (q ⇒ p)

d) (p ⇒ r) ⇐⇒ (q ∧ r)

3. Sean p, q y r proposiciones, tales que: p es V, q es F, r es V. Determine el valor de verdad de las siguientes
proposiciones:
a) [(p ∧ q) ⇒ (q ∨ r)] ⇐⇒ (p ⇒ r)

c) (p ⇒ q) ∨ (r ∧ p ⇒)

b) (∼ p ∨ r) ⇐⇒ (q ∨ r)

d) (p ∧ r) ⇒ (∼ q ∨ r)

4. Construiruna tabla de verdad para las siguientes proposiciones compuestas:
a) (p ∧ q) ⇒ (p ∨ q)

c) (p ⇒ q) ⇐⇒ (∼ p ⇒∼ q)

e) [(p ∧ q) ∨ p] ⇐⇒ p

b) (p ⇒ q) ∧ (∼ p ⇐⇒ q)

d) (p ∧ r) ⇐⇒ (q ∨ r)

f ) (p ⇒ q) ⇐⇒ (∼ q ⇒∼ p)

5. Sin usar tablas de verdad, encuentre los valores de verdad de p, q y r (si es que existen) de modo que la proposici´on
siguiente sea Falsa
[(p ⇐⇒ q) ∧ (q ⇒ r)] ⇒ (p ⇐⇒ r)
6. Dadas lasproposiciones: r : a > 0, s : a2 > 0 escriba las siguientes proposiciones:
a) ∼ r
b) r ⇒ s

c) ∼ (∼ r) ⇐⇒ ∼ s
d) ∼ (r∧ ∼ s)

e) (r∨ ∼ s) ⇒ s

Determine el valor de verdad de cada una sabiendo que r es V y s es V
¿Cu´ales son los valores de verdad en el caso que r sea F y s sea V ?
¿Cu´ales son los valores de verdad en el caso que r sea V y s sea F ?
¿Cu´ales son los valores de verdad en el caso quer sea F y s sea F ?
7. Clasifique las siguientes proposiciones en: Tautolog´ıa, Contradicci´on o Contingencia. Adem´as, obtenga la negaci´on
de estas proposiciones:
a) (p ∨ q) ⇐⇒ (p ∧ q)
b) (p ⇒ q) ∨ (∼ q ∧ p)
c) p ∨ (p ∧ q)

d) (p ∧ q) ∧ (∼ p∨ ∼ q)
e) [p ⇒ (q ⇒ r)] ⇐⇒ [(p∧ ∼ r) ⇒∼ q]

8. Sean p y q proposiciones, tales que p ⇒ q es una proposici´on Falsa. Determine el valor de verdad de laproposici´on:
(p ∨ q) ⇐⇒ (q ∧ p)

9. Sean p y q proposiciones, tales que p ∧ q es una proposici´on Verdadera. Determine el valor de verdad de la proposici´on:
(p ⇒ q) ⇐⇒ (p ∨ q)
10. Si el valor de verdad de (p ⇒∼ q) ∨ (∼ r ⇒) es F, determine el valor de verdad de:
a) (∼ p∧ ∼ q)∨ ∼ q
b) (p ⇒ r) ⇒ [(p ∨ q)∧ ∼ q]

c) [(∼ r ∨ q) ∧ q] ⇐⇒ [(∼ q ∨ r) ∧ s]

11. Si se tienen los siguientes antecedentes comoverdaderos:
a) Si Jorge no est´a bien con su polola no va al f´utbol
b) Es suficiente que Jorge hable por tel´efono con su polola para que est´e bien con ella
c) Jorge habl´o por tel´efono con su polola
¿ Es correcto concluir Jorge va a ir al f´utbol ?. Fundamente su respuesta .
12. En los problemas siguientes x, y son n´umeros reales (x, y ∈ R). En cada una de las expresiones siguientes
encuentrelos valores de x que hacen la proposici´on verdadera:
a) (x < 1) ⇒ (x < 3)

c) (x2 < 0) ⇒ x = 3

b) (x ≤ 1) ⇐⇒ (x < 3)

d) (∃ y)(x2 + y 2 = 1)

13. Si (p ∨ q) ⇐⇒ (r ∧ s) es V y los valores de verdad de r y s son opuestos, determine el valor de verdad de:
[(∼ p∧ ∼ q) ∨ (r ∧ s)] ∧ p
14. Si el valor de verdad de (p ∧ q) es F, demuestre que [(p ⇐⇒ ∼ q) ⇒ (p∧ ∼ q)] ⇐⇒ ∼ q es Tautolog´ıa.
15. Demuestreusando tablas de verdad, que cada una de las proposiciones del listado de em Tautolog´ıas b´asicas o
Teoremas L´ogicos, es efectivamente una Tautolog´ıa.
16. Transforme cada una de las siguientes proposiciones en otras equivalentes que s´olo contengan los conectivos: negaci´on, disyunci´on y conjunci´on.
a) ∼ p ⇐⇒ q

c) (p ⇒ q) ⇒ r

b) p ⇒ (∼ q∧ ∼ r)

d) [∼ (∼ p ⇐⇒ q)] ⇒ (∼ r ∧ q)

17. Primeroniegue la expresi´on dada y luego simplif´ıquela usando propiedades
a) (p ∧ q) ⇒ r

c) p ∧ (q ∨ r) ∧ (∼ p∨ ∼ q ∨ r)

e) (r ⇒ q) ⇒ [p ⇒ (q ∧ r)]

b) p ⇒ (∼ q ∧ r)

d) (p∧ ∼ q) ⇐⇒ ∼ (∼ p ∨ q)

f ) (p ∧ (∼ p ∨ q)) ⇒∼ (p∨ ∼ q)

18. Demostrar sin usar tablas de verdad que:
a) p ∧ q ⇒ p ∨ q

c) p ⇒ p ∨ q

b) [∼ p ⇒ (p ⇒∼ q)]

d) [p ∧ (p ⇒ q)] ⇒ q

19. Utilizando definiciones y propiedades de l´ogica...