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CAPÍTULO

5
La derivada

1

5.1 La recta tangente
Los griegos sabían que una recta en el mismo plano que una cónica (en el caso de la parábola o de la hipérbola, una recta no paralela a alguno de sus ejes) o la cortaba en dos puntos o la tocaba en un punto, o no la cortaba. A la recta que tocaba la cónica en un punto la llamaban tangente a la cónica en dicho punto. Por ejemplo, en el casode la circunferencia sabían también que el radio que pasa por el punto de contacto es perpendicular a tal tangente, por lo que no tenían problema para trazar la tangente a una circunferencia en cualquiera de sus puntos.
te gen Tan
a Sec
C
§ ¢

nte

Ta ng en te

P

Circunferencia
1

Elipse

canek.azc.uam.mx: 22/ 5/ 2008

1

£¤

¥¦

Secante

£¤

 ¡

 ¡

 ¡

2Cálculo Diferencial e Integral I

Secante
¨©

Tangente

Parábola

Hipérbola

Pero lo descrito no se podía extender a otras curvas. Pensemos ahora que tenemos la gráfica de una función f cualquiera y un punto P Œx0 ; f .x0 / fijo en ella y que queremos precisar a cuál recta, de todas las que pasan por el punto P , deberíamos llamarle la tangente a la curva (a la gráfica de la función f )en el punto. Esto es, del haz infinito de rectas que pasan por el punto P de la gráfica de f :
y P

x0

¿A cuál de ellas denominaremos recta tangente a la curva y D f .x/ en el punto P ? ¿Cuál será la pendiente m de la recta tangente a la curva y D f .x/ en el punto P ? Para contestar a esta pregunta es necesario calcular la pendiente de la recta tangente con el fin de conocerla. Sea f unafunción definida en un cierto intervalo abierto que contiene a x0 y sea P Œx0 ; f .x0 / un punto fijo en la gráfica de f . Si tomamos cualquier otro punto QŒx; f .x/ sobre la gráfica de la función, la recta secante s que pasa por P y Q corta a la gráfica de la función al menos en estos dos puntos, P y Q, por lo que no parece 2



f .x0 /

y D f .x/

x







e nt ca te Se en ng Ta



5.1 La recta tangente

3

sensato pensar en ella como la tangente, pero en cambio sí parece lógico pensar que si Q estuviese cerca de P , entonces la recta secante s se aproximaría la tangente buscada y podríamos entonces pensar en definir la pendiente mt de la recta tangente en P como el límite de la pendiente de la recta secante s, cuando el punto Q tendiese al punto P .
y ySe c

an te

y D f .x/

s

f .x0 /

x0

Pero para que esto suceda, intuimos que debe existir en el punto P una única recta t que sea la posición límite de las rectas secantes s, cuando el punto Q tiende al punto fijo P . Supongamos la existencia de esta recta tangente t.
y y

s1 Q1 x x0 x x

s2

La pendiente de la recta secante s es ms D tan ˛ D f .x/ x f .x0 / f .x0 / D x0 x0 f.x/ x

y como x ! x0 cuando Q ! P , podríamos pensar que la pendiente mt de la recta tangente t es mt D lím ms D lím ms D lím
Q!P x!x0

f .x/ x!x0 x

f .x0 / f .x0 / D lím x!x0 x0 x0

'

(

!

f .x0 /

y D f .x/

Q2

s3 x x0

f .x/ : x

&

P

$

f .x/

Q1

f .x/

Q3

t

%

Q3
"

#



P

y D f .x/

f .x/

x x x x0

Sec a

nte

Q

Qs

t



f .x/

s3 Q2

s2

y D f .x/

s1

f .x0 /



f .x0 /

P

x

P

3

4
y

Cálculo Diferencial e Integral I

˛ x x0 x

Ejemplo 5.1.1 El punto P .1; 3/ está en la gráfica de la función f .x/ D 4 x 2 . Considerando valores de x alrededor (cerca) de x0 D 1, ubicar los puntos QŒx; f .x/ resultantes y calcular las pendientes ms de las rectas secantes s quepasan por P y por Q.

H Ésta es la gráfica de f :

y

f .1/ D 3

Se genera la tabla siguiente: 4

)

f .x0 //

P

˛ x x0

P .1; 3/

y D f .x/ D 4

1

)

f .x/

Q

y D f .x/

f .x/

f .x0 /

x2

x

5.1 La recta tangente f .x/ 3/ x 1

5

x 0:5 0:8 0:9 0:99

f .x/ 3:75 3:36 3:19 3:0199

QŒx; f .x/ .0:5;3:75/ .0:8;3:36/ .0:19;3:19/ .0:99;3:0199/

x...
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