ALGORITMOS PARA EL CALCULO DE An

1.3. ALGORITMOS PARA EL CALCULO DE An

INDUCCIÓN MATEMÁTICA


Calcular An,

El método de demostración conocido como inducción matemática, se puede utilizar para demostrar que una ciertaproposición p(n), que se refiere a los números naturales, es cierta para cada n.
El método nos dice:

1. Demuestra que P(1) existe
2. Demuestra que P(n) es cierta, entonces P(n+1) es cierta
Así queda claro queP(n) es cierta

Para la matriz A empezamos calculando las sucesivas potencias de la matriz cuadrada A:


A estas potencias las escribimos de otro modo:















Esto nos lleva a proponer lasiguiente ecuación general:






Demostramos por inducción que es verdad:

1. Comprobemos que es cierto para cada n=2, n=3 por ejemplo.
2. Supongamos que la formula es cierta para n vamos a ver quetambién es cierta para n+1




Por lo tanto queda demostrado por inducción que:



Ejemplo:
Sea: , encontrar Bn

Primero encontramos sus primeras potencias tales como:






HI)TI)

Demostración:

B(k+1)=Bk*B1






BINOMIO DE NEWTON

Deducción de la fórmula del binomio de newton

Vamos a deducir la fórmula que nos permitirá elevar a cualquier potencia de exponentenatural, n, un binomio. Esto es la forma de obtener 
Para ello veamos cómo se van desarrollando las potencias de (a+b)









Y ya podemos escribir la fórmula general del llamado binomio de Newton 

 
Que también se puede escribir de forma abreviada así: 


Tenemos:












PASOS PARA CALCULAR An
1. Descomponer la matriz A en dos matrices conmutables de la forma A=I+B2. Aplicar Binomio de Newton

00 0

3. Simplificar:



4. Sustituir matrices y operar:





Ejemplo:
Encontrar con el binomio de newton A n








1. Descomponer la matriz A en dos matrices...