Algortimo De Shor

Algoritmo de Shor

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Algoritmo de Shor
En computación cuántica, el algoritmo de Shor es un algoritmo cuántico para descomponer en factores un número N en tiempo O((log N)3) y espacio O(logN), así nombrado por Peter Shor. Muchas criptografías de clave pública, tales como RSA, llegarían a ser obsoletas si el algoritmo de Shor es implementado alguna vez en una computadora cuántica práctica. Unmensaje cifrado con RSA puede ser descifrado descomponiendo en factores la llave pública N, que es el producto de dos números primos. Los algoritmos clásicos conocidos no pueden hacer esto en tiempo O((logN)k) para ningún k, así que llegan a ser rápidamente imprácticos a medida que se aumenta N. Por el contrario, el algoritmo de Shor puede romper RSA en tiempo polinómico. También se ha ampliadopara atacar muchas otras criptografías públicas. Como todos los algoritmos de computación cuántica, el algoritmo de Shor es probabilístico: da la respuesta correcta con alta probabilidad, y la probabilidad de fallo puede ser disminuida repitiendo el algoritmo. El algoritmo de Shor fue demostrado en 2001 por un grupo en IBM, que descompuso 15 en sus factores 3 y 5, usando una computadora cuánticacon 7 qubits.

Procedimiento
El problema que intenta solucionar el algoritmo de Shor es que, dado un número entero N, intentamos encontrar otro número entero p entre 1 y N que divida N. El algoritmo de Shor consiste en dos partes: 1. Una reducción del problema de descomponer en factores al problema de encontrar el orden, que se puede hacer en una computadora clásica. 2. Un algoritmo cuántico parasolucionar el problema de encontrar el orden.

Parte clásica
1. Escoja un número pseudo-aleatorio a < N 2. Compute el mcd(a, N). Esto se puede hacer usando el algoritmo de Euclides. Si el mcd(a, N) ≠ 1, entonces es un factor no trivial de N, así que terminamos. Si no, utilice el subprograma para encontrar el período (ver abajo) para encontrar r, el período de la función siguiente: , es decirel número entero más pequeño r para el cual . 3. Si r es impar, vaya de nuevo al paso 1. 4. Si ar/2 ≡ -1 (mod N), vaya de nuevo al paso 1. 5. Los factores de N son el mcd(ar/2 ± 1, N). Terminamos.

Algoritmo de Shor

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Parte cuántica: subprograma para encontrar el período
1. Comience con un par de registros qubits de entrada y salida con log2N qubits cada uno, e inicialícelos a

donde xva de 0 a N - 1. 2. Construya f(x) como función cuántica y aplíquela al estado antedicho, para obtener

3. Aplique la transformada de Fourier cuántica al registro de entrada. La transformada de Fourier cuántica en N puntos se define como:

Lo que nos deja en el estado siguiente:

4. Realice una medición. Obtenemos un cierto resultado y en el registro de entrada y f(x0) en el registro desalida. Puesto que f es periódica, la probabilidad de medir cierto y viene dada por

5. 6. 7. 8.

El análisis muestra ahora que cuanto más alta es esta probabilidad, tanto más el yr/N es cercano a un número entero. Convierta a y/N en una fracción irreducible, y extraiga el denominador r ', que es un candidato a r. Compruebe si f(x) = f(x + r '). Si es así terminamos. Si no, obtenga más candidatosa r usando valores cercanos a y, o múltiplos de r '. Si cualquier candidato cumple las condiciones, terminamos. Si no, vaya de nuevo al paso 1 del subprograma.

Explicación del algoritmo
El algoritmo se compone de dos partes. La primera parte del algoritmo convierte el problema de descomponer en factores en el problema de encontrar el período de una función, y se puede implentar clásicamente.La segunda parte encuentra el período usando la transformada de Fourier cuántica, y es responsable de la aceleración cuántica.

I. Obtención de factores a partir del período
Los números enteros menores que N y coprimos con N forman un grupo finito bajo multiplicación módulo N, que se denota típicamente (Z/N Z)×. Para el final del paso 3, tenemos un número entero a en este grupo. Puesto que el...