Algrebra IV

10. RESOLUCIÓN DE DESIGUALDADES.
Definición 10-1. El enunciado de que una cantidad es mayor que o menor que otra cantidad es llamado una desigualdad. Algunas veces es conveniente combinar una igualdad' con una desigualdad. Así
a b significa "a es menor que o igual a b" a b significa "a es mayor que o igual a b"
Por ejemplo, a0 significa que a no es positivo, y a 0 significa que a no esnegativo. Es claro que si ambos enunciados fuesen válidos simultáneamente, entonces a = 0.
10-1. SOLUCION DE DESIGUALDADES
En lo que resta de este capítulo vamos a considerar desigualdades en las que uno o ambos miembros contienen una variable (o variables). Hay en general dos tipos especiales de desigualdades que definimos ahora.
Definición 10-2. Una desigualdad que es satisfecha por algunos,pero no todos los valores permisibles (Los valores permisibles incluyen todos los valores para los cuales ambos miembros de la desigualdad están definidos) de las variables involucradas es llamada una desigualdad condicional.
Así x + 3 < 4 es una desigualdad condicional; es válida tan sólo si x < 1.
Definición 10-3. Una desigualdad que se satisface para todos los valores permisibles de lasvariables involucradas es llamada una desigualdad absoluta.
es válida para todos los valores reales de x, y es, por tanto, una desigualdad" absoluta.
Resolver una desigualdad significa encontrar todos los valores de las variables o variable que satisfacen a la desigualdad. En particular, podemos usar las siguientes
propiedades de las desigualdades:
1. El sentido de una desigualdad no sé alteracuando el mismo número se suma a o se sustrae de ambos miembros.
2. El sentido .de una desigualdad no se altera cuando ambos miembros son multiplicados o divididos por el mismo número positivo.
3. El sentido de una desigualdad se invierte cuando ambos miembros son multiplicados o divididos por el mismo número negativo.
Cada una de estas operaciones cambia a una desigualdad en una desigualdadequivalente (esto es, una desigualdad con el mismo conjunto de soluciones). Y el proceso de solución consiste en obtener una serie de desigualdades equivalentes que conducen a una desigualdad final cuya solución es evidente.
EJEMPLO 1. Resolvamos la desigualdad 2 - 3x 2x + 12.
Solución. Sustrayendo 2x + 2 de ambos lados, obtenemos
-5x 10.
Dividiendo entonces por -5 e invirtiendo el sentido de ladesigualdad llegamos a

x -2.
Esto muestra que una solución de la desigualdad dada es una solución de la última desigualdad. Podemos ahora comenzar con x -2, invertir las operaciones y hacer el trabajo a la inversa hacia la desigualdad dada lo cual establecería la equivalencia de la desigualdad que se nos dio con la desigualdad final. Concluimos, entonces, que la solución de la desigualdad dada,en notación de conjuntos, es
{x|x -2}.
EJEMPLO 2. Resolvamos la desigualdad .
Solución. El primer paso es factorizar el miembro izquierdo. Así tenemos
o también
En la forma factorizada, vemos que los ceros de son y x = 3. Para todos los otros valores de x el lado izquierdo es ya sea positivo o negativo. Por tanto, buscamos los valores de x que hacen a algunos de los factores positivo yal otro negativo. El factor es negativo cuando y positivo cuando Esto se indica en el eje numérico (Fig. 10-1) por medio de los signos menos a la izquierda de y los signos de más a la derecha. De manera semejante, el factor x - 3 es negativo a la izquierda de 3 y positivo a la derecha. A partir del diagrama, es fácil ver que los factores tienen signos opuestos para todos los valores de xentre y 3. La solución de la desigualdad dada puede expresarse
o
Refiriéndonos a la Fig. 10-1, vemos que los factores de son ambos negativos cuando y ambos son positivos cuando x > 3. Por tanto, la solución de la desigualdad

Es

Figura 10-1
EJERCICIO 10-1. Resuelva las siguientes desigualdades.

10-3. DESIGUALDADES ABSOLUTAS. Para establecer una desigualdad de este tipo,...