Algunas Propiedades De Los Numeros Naturales

ALGEBRA  SUPERIOR II
ALGUNAS PROPIEDADES DE LOS NUMER  OS NATURALES
TITULAR: DR. CHRISTOF GEISS.
AYUDANTE: FRANCISCO BARRIOS
Abstract. En la presente nota caracterizamos axiomaticamente a los natu-
rales e introducimos el esquema general de la teora de conjuntos y del sistema
de axiomas de Zermelo-Fraenkel.
Los axiomas de Peano. En contraste con Dedekind, Peano no estaba intere-sado en una construccion de los numeros  naturales que partiera de la teora de
conjuntos sino en su axiomatizacion desde el punto de vista de un lenguaje formal,
es decir, uno trataba el problema desde la perspectiva de la teora de conjuntos
mientras que otro lo abordaba desde la logica matematica.
Originalmente (1889) eran nueve los axiomas que Peano presento en su obra
Arithmeticesprincipia nova methodo exposita. Despues de analisis mas profundos
por parte de otros matematicos y de la eliminacion de aquellos postulados que
podan deducirse a traves de los otros nos han llegado los cinco axiomas para los
conceptos basicos N; 0 y S que se utilizan hoy :
(P1) 0 2 N.
(P2) Si n 2 N entonces S(n) 2 N.
(P3) Si n 2 N entonces S(n) =6 0.
(P4) Si 0 2 E  N y si [n 2 E) S(n) 2 E] entonces N  E.
(P5) Si m; n 2 N entonces [S(m) = S(n) ) m = n].
Interpretados en terminos de la teora de conjuntos, estos axiomas equivalen a la
denicion de los numeros  naturales dada en la nota de clase (1); e.g. (P4) equivale al
axioma (3) de la denicion que a su vez equivale al Principio de Induccion Completa.
De esta manera las deniciones conjuntistas de numero natural dadas por Zer-
melo en 1908 y por von Neumann en 1923 |cada una con su respectiva funcion
sucesor| satisfacen los axiomas de Peano y en todo caso proveen un modelo ade-
cuado de los numeros  naturales de los cuales, por otro lado, ya vimos que son
esencialmente unic  os.
Sistema axiomatico de la teora de conjuntos. En 1893 el losofo aleman
Gottlob Frege dio en el primervolumen de su obra Grundgesetze der Arithmetik
un sistema de axiomas para la teora de conjuntos ideada por Georg Cantor, con
la intencion de proveer una base logica para la matematica. Entre dichos axiomas
haba uno que (en lenguaje moderno) deca:
Axioma de comprehension: Para toda propiedad P existe un
conjunto MP que contiene a todos y exclusivamente a todos los
conjuntos quesatisfacen la propiedad P.
Date: March 7, 2005.
12 TITULAR: DR. CHRISTOF GEISS. AYUDANTE: FRANCISCO BARRIOS
Actualmente escribiramos:
MP := f x j x es un conjunto y x satisface Pg
>Que sucede cuando uno escoge P como la propiedad: \no ser un elemento de s
mismo"? De acuerdo con el axioma de comprehension existe un conjunto:
MP := f x j x es un conjunto y x 2= x g
>Es MP un elemento de smismo? Si respondemos armativamente, i.e. si MP 2
MP entonces por denicion MP es un conjunto y MP 2= MP . Si respondemos
negativamente, dado que MP es un conjunto y MP 2= MP por denicion tenemos
que MP 2 MP ; es decir, llegamos en ambos casos a que:
MP 2 MP () MP 2= MP (una contradiccion).
Fue Bertrand Russell quien en 1901 descubrio esta inconsistencia
1
del axioma de
comprehension ya la que usualmente se le conoce como paradoja de Russell. Poste-
riormente fueron el, Zermelo, Hilbert y muchos matematicos mas quienes trataron
de reparar los conceptos de la teora de conjuntos demolidos tras la cada de los
axiomas de Frege. A continuacion presentamos el sistema axiomatico Zermelo-
Fraenkel considerado por los especialistas en teora de conjuntos de hoy en dacomo consistente. Cabe hacer notar que hasta la decada de los veinte se crea posi-
ble una demostracion de la consistencia del sistema de axiomas deducida a partir
de s mismo; sin embargo en 1931 Kurt Godel demostro que esto no era posible.
Ex. El axioma de existencia: Existe un conjunto.
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Ext. El axioma de extension: Dos conjuntos son iguales si y solo si tienen los
mismos...