Algunos tópicos de trigonometría

Algunos Tópicos de Trigonometría

ALGUNOS TÓPICOS DE

TRIGONOMETRÍA

Licenciado en Matemáticas

Jorge Guillermo Díaz Albújar

Chiclayo Perú
Lic. Mat. Jorge Guillermo Díaz Albújar

Algunos Tópicos de Trigonometría

ÁNGULOS Y SISTEMAS DE MEDICIÓN La trigonometría en sus inicios se utilizó para resolver problemas de astronomía y navegación, por eso se le llamó la ciencia de la medidaindirecta. ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO. Es una figura generada por la rotación de un rayo alrededor de su origen. Según la rotación del rayo el sentido de un ángulo puede ser: • Antihorario: ángulo positivo. • Horario: ángulo negativo.

α

β

Sentido de “ α ” POSITIVO Sentido de “ β ” NEGATIVO ÁNGULOS COTERMINALES. Dos o más ángulos son coterminales si tienen el mismo lado inicial y el mismo ladoterminal. Su diferencia es un número entero de vueltas.

= k (360º ), k ∈ Z β −α

α

β

La medición de ángulos en áreas como la cartografía o la navegación se hace en grados sexagesimales, pero en análisis científicos como los movimientos ondulatorios de los cuerpos, se utiliza el sistema radial para medir ángulos. El SISTEMA RADIAL O CIRCULAR tiene como unidad de medida el radián (rad),definido como la medida del ángulo que subtiende un arco de igual longitud que el radio de la circunferencia.

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Al dividir la longitud de cualquier circunferencia (L) por la longitud de su diámetro (D) se obtiene el número irracional π , expresando esta relación en función del radio se tiene:

π =

De resultas queel ángulo de una vuelta (una circunferencia) mide 2 π radianes. Por tanto el sistema radial divide el ángulo de una vuelta en 2 x 3,1416 = 6,2832 partes aproximadamente, cada una de ellas llamada radián. Pero ¿Cuánto mide un radián? Antes de responder a esta pregunta, se analizará el caso general. Sean S y R las medidas del mismo ángulo en grados sexagesimales y radianes, respectivamente,estableciendo una proporción con respecto al ángulo de una vuelta:

L L = D 2r

S R = 360 2π
A partir de ello se obtienen los algoritmos de conversión: De radianes a grados sexagesimales S = De grados sexagesimales a radianes R =

180R

πS
180

π

Como caso práctico se hallará la medida de un radián:

1 rad =

180(1)

π

≈ 57,3º

LONGITUD DE ARCO: Es la medida en unidades delongitud, del arco correspondiente a un ángulo central medido en radianes.

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Esto permite establecer la siguiente regla de tres simple

Despejando L = θ r

1 rad → r θ rad → L

ÁREA DE UN SECTOR CIRCULAR: Estableciendo la proporcionalidad en una regla de tres simple. Si para un ángulo de 2 π radianes corresponde el áreade un círculo, entonces para un ángulo de θ radianes corresponde un área A .

2π rad → π r 2 θ rad → A
Luego A =

θ r2
2

EJERCICIOS RESUELTOS 1 Si α = 125º , ¿cuáles son los ángulos coterminales con α que cumplen: ser el menor positivo y el mayor negativo? Solución: El menor ángulo positivo coterminal con α será: 125º+360º=485º, y el mayor ángulo negativo coterminal con α será: 125º -360º= -235º 2 Convertir 108º a radianes. Solución: Usando equivalencias o factores de conversión

108º

π rad 3π = rad 180º 5

3

Convertir

2π rad a grados sexagesimales 5

Solución: Usando equivalencias o factores de conversión

2π º180 rad = 72º 5π rad

4

Convertir 11º15’ a radianes.

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Solución:Primero se convierten los 15’ a grados usando la equivalencia

1º 1 15' = 15' = 0, 25º   º = 60 ' 4
Luego:

45º  1  π rad π 11º15' = 11º +   º = = rad 4 180º 16 4
5 Un arco mide 2,25 m y pertenece a un círculo de radio 1,8 m. Calcula el ángulo central en radianes. Solución: Puesto que L = θ R , se tiene reemplazando 2, 25 = θ (1,8) , de donde:

θ=
6

2, 25 5 = = 1, 25 rad. 1,8...