alog de fisica

Departamento de Matemáticas
Facultad de Ciencias
UNAM

NOTAS
DE
ANALISIS MATEMATICO
Dr. Joaquín Curiel

PREFACIO
En el capítulo 0, se demuestra que el sistema de los reales es un campo
ordenado, completo.
En el capítulo I, se presenta primeramente, uno de los ejemplos más
importantes de espacio métrico, el espacio lineal normado.
En la sección 1, presentamos el concepto de espaciolineal sobre el campo de
los reales, y algunos ejemplos.
En la sección 2, introducimos la definición de espacio lineal normado.
En la sección 3, definimos el concepto de espacio con producto interno, el
cual es un caso particular muy importante de espacio lineal normado.
n espacio con producto interno que tiene dimensión finita es un espacio
euclidiano y un espacio con producto interno dedimensión infinita es un
espacio de Hilbert.
En la quinta y última sección, se introduce la noción de métrica o distancia en
un espacio lineal normado.
En el capítulo II, estudiamos los espacios métricos.
En la sección 1 del capítulo II, damos la definición de espacio métrico y
presentamos algunos ejemplos.
En la sección 2, se estudian algunas propiedades de espacios métricos curvos
En lasección 3, se estudian los conjuntos abiertos.
En la sección 4, estudiamos algunas propiedades de los conjuntos cerrados.
En la sección 5, se demuestra el teorema de celdas nidificadas, el cual afirma
que la intersección de una sucesión decreciente de intervalos cerrados, no
vacíos, es no vacía.
En esta misma sección demostramos el teorema de Bolzano-Weierstrass, que
afirma que todo conjuntoinfinito y acotado de números reales, tiene un punto
de acumulación.
En la sección 6, se estudian los conjuntos compactos, en un espacio métrico.
Todo conjunto compacto es cerrado y acotado. Un subconjunto cerrado de un
conjunto compacto, es compacto.
En la sección 7, se estudian los conjuntos compactos de números reales. El
teorema principal de esta sección es el teorema de Heine-Borel, elcual afirma
que un conjunto de números reales es compacto, si y sólo si, es cerrado y
acotado.
Una consecuencia importante del teorema de Heine-Borel, es el teorema de
intersección de Cantor.
En la sección 8, se estudian los conjuntos conexos
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En el capítulo III, estudiamos la convergencia de una sucesión en un espacio
métrico, y definimos el concepto de espacio métrico completo.
En lasección 1, se estudian las sucesiones en un espacio métrico
En la sección 2, consideramos las sucesiones en un espacio lineal normado. Se
demuestra que toda combinación lineal de sucesiones convergentes es
convergente y que el producto interno de dos sucesiones convergentes es
convergente.
En la sección 3, introducimos el concepto de sucesión acotada en un espacio
lineal normado.
En lacuarta sección se estudian las sucesiones convergentes.
En la quinta sección se estudian las sucesiones de Cauchy.
En la sexta sección se estudian los espacios de Banach, es decir, los espacios
lineales normados completos.
En la sección 7, se demuestra que el espacio de los reales R, es completo, es
decir, que toda sucesión de Cauchy de números reales, es convergente.
En la sección 8, seestudian los espacios métricos completos .
En la sección 9, estudiamos el comportamiento de los puntos fijos en un
espacio métrico completo.
En el capítulo IV se estudia el concepto de función continua.
En la sección 1 estudiamos las propiedades de la funciones continuas en un
espacio métrico
En la sección 2, estudiamos la continuidad de funciones definidas en espacios
lineales normados.
En lasección 3 presentamos algunas propiedades de las funciones lineales.
En la sección 4, estudiamos la continuidad de las funciones reales. Una
función real continua sobre un conjunto compacto, es acotada y toma sus
valores extremos (máximo y mínimo).
En la sección 5, estudiamos la continuidad uniforme de las funciones definidas
en espacios métricos. Toda función real continua sobre un conjunto...