ambientales

Problemas Tema1: Soluciones
1.- Si

= 2x2 z 4
2 4

(x; y; z) = 2x z

~
x2 y 3 , hallar r

~
y r

2 3

x y
2xy 3 + 4xz 4
3x2 y 2
r (x; y; z) =
8x2 z 3
2
3
2xy 3 + 4xz 4
5
3x2 y 2
f (x; y; z) = 4
8x2 z 3
2
3
20
f (1; 2; 1) = 4 12 5
8
p
k (20; 12; 8) k = 608 = 24: 658

~
2.- Si (x; y; z) = 3x3 y y 4 z 2 , hallar r
(x; y; z) = 3x2 y y 3 z 2
2
3
6xy
r (x; y;z) = 4 3x2 3y 2 z 2 5
2y 3 z 3
2
6xy
g(x; y; z) = 4 3x2 3y 2 z 2 5
2y 3 z
3
2
12
9 5
g(1; 2; 1) = 4
16

en el punto (1,-2,-1).

en el punto (1; 2; 1) .

~
~ ~
3.- Dados A = 3x2 yz 2~ + 2x2 y 3~ x2 yz~ y = 3x3 y 2 z , hallar: a) r A
i
j
k
~ (r ) ; c) r ( A) ; d) r (r ) en el punto (1, -1, 1).
~
~
~
~ ~
; b) A
!
A (x; y; z) = (3x2 yz 2 ; 2x2 y 3 ; x2 yz)
(x; y; z) = 3x3y 2 z
!
a) r A = 6xyz 2 x2 y + 6x2 y 2
f (x; y; z) = 6xyz 2 x2 y + 6x2 y 2
f (1; 1; 1) = 1 2
3
9x2
b) r (x; y; z) = 4 2yz 5
y2
2
3
2
9x
F (x; y; z) = 4 2yz 5
y2
2
3
9
F (1; 1; 1) = 4 2 5
1
1

G(x; y; z) = (3x2 yz 2 ; 2x2 y 3 ; x2 yz)
3
2 1
G(1; 1; 1) =
( 3; : 2; 1) (9; 2; 1) = 32:0
~
~
c)r ( A)
A(x; y; z) = (3x2 yz 2 ; 2x2 y 3 ; x2 yz)
r ( (x; y; z) A(x; y; z)) =x2 y 3 z 4x2 y 4 z + 27x4 yz 2 x2 y 3x3 y 2 z +
6xyz 2 3x3 y 2 z + 6x2 y 2 3x3 y 2 z
G(x; y; z) = x2 y 3 z 4x2 y 4 z+27x4 yz 2 x2 y 3x3 y 2 z +6xyz 2 3x3 y 2 z +
2 2
6x y 3x3 y 2 z
G(1; 1; 1) = 30
~ ~
d)r (r )
2
3
9x2
(x; y; z)), Gradient is 4 2yz 5
y2
(9x2 ; 2yx; y 2 ), Divergence is 16x
~ ~
r (r )(1; 1; 1) = 16
~ ~
4.- Si = 3x3 z y 2 z 3 + 4x3 y + 2x 3y 5 , hallar
= (r r) .
32 3
3
(x; y; z) = 3x z y z + 4x y + 2x 3y 5
(x; y; z), Laplacian is 24xy + 18xz 2z 3 6y 2 z
@2
@2
@2
(x; y; z) + 2 (x; y; z) + 2 (x; y; z) = 24xy + 18xz 2z 3 6y 2 z
@x2
@y
@z
3
2
2
12x y + 9x2 z + 2
(x; y; z), Gradient is 4 4x3 2yz 3 3 5, Divergence is 24xy + 18xz
3x3 3y 2 z 2
3
2
2z
6y z
h i
~
~
~
~
~
i
j
k
A
5.- Si A = 2x2 z 2~ yz~ + 3xz 3~ y = x3 yz hallar: a) r A; b) r
h
i
~
~
~
; c) r
r A , en el punto (1, 1, 1).
A = 2x2 z 2 ; yz; 3xz 3
(x; y; z) = 2 3 yz
x
y
a)r A = 4 3z 3 + 4x2 z
0
2
y
f (x; y; z) = 4 3z 3 + 4x2 z
0
2 3
1
f (1; 1; 1) = 4 1 5
0
b)
r

3
5

3
5

(x; y; z) 2x2 z 2 ; yz; 3xz 3

2

=4
2

3
3x4 z 4 + 2x3 y 2 z
12x3 yz 4 + 6x5 yz 2 5
2x5 z 3 3x2 y 2 z 2

2

3
3x4 z 4 + 2x3 y 2 z
g(x; y; z) = 412x3 yz 4 + 6x5 yz 2 5
2x5 z 3 3x2 y 2 z 2
2
3
5
g(1; 1; 1) = 4 6 5
5
2
3
4x2 + 9z 2
5
0
c)r [r A] = 4
8xz 1
2
3
4x2 + 9z 2
5
0
h(x; y; z) = 4
8xz 1
2 3
5
h(1; 1; 1) = 4 0 5
7

h
i
~
~
~
6.- Cuando F = x2 y 2 z , G = x2 y 3z 2 , hallar: a) r (r F ) (r G) ;
h
i
~
~
~
b) r (r F ) (r G) .
a)
2
3
2xy 2 z
F = x2 y 2 z, Gradient is 4 2x2 yz 5
2x2 yz 3
2
2xy
G= x2 y 3z 2 , Gradient is 4 x2 5
2
3 6z
2
3
2xy
12xy 2 z + 8xy 3 z + 8x3 yz
(2xy 2 z; 2x2 yz; x2 y 2 ) 4 x2 5 = 2x4 yz 6x2 y 2 z+4x2 y 3 z, Gradient is 4 2x4 z 12x2 yz + 12x2 y 2 z 5
6z
2x4 y 6x2 y 2 + 4x2 y 3
b) 2xy 2 z; 2x2 yz; 2x2 yz
, Divergence is 2x3 y 2

2xy; x2 ; 6z =

2x4 yz

12x2 yz 2

12xy 2 z 2 + 4x3 y 2 z

7.- Tres campos escalares están de…nidos por lasfunciones F = 2ax2 +y 2 2z
; G = 2by 2 + z 2 2x ; H = cz 2 + x2 2y . Determinar los parámetros a, b
y c con la condición de que las super…cies isoescalares correspondientes sean
mutuamente ortogonales en el punto (1, -2, 1).
F (x; y; z) = 2ax2 + y 2 2z; G(x; y; z) = 2by 2 + z 2 2x; H(x; y; z) = cz 2 +
2
x
2y
rF (x; y; z) = (4ax; 2y; 2) ; rG(x; y; z) = ( 2; 4by; 2z) ; rH(x; y; z) = (2x; 2; 2cz)
f(x; y; z) = (4ax; 2y; 2)
g(x; y; z) = ( 2; 4by; 2z)
h(x; y; z) = (2x; 2; 2cz)
4
2
f (1; 2; 1) = 4a
2
8b 2
g(1; 2; 1) =
2 2c
h(1; 2; 1) = 2

3

2x3 y 2 z

(4a; 4; 2) ( 2; 8b; 2) = 32b 8a 4 = 0
(4a; 4; 2) (2; 2; 2c) = 8a 4c + 8 = 0
( 2; 8b; 2) (2; 2; 2c) = 16b + 4c 4 = 0
0
1
32b 8a 4 = 0
@ 8a 4c + 8 = 0 A, Solution is: a = 1 ; b = 0; c = 1
2
16b + 4c 4 = 0

!
8.- Dado...