amplificadores

RESUMEN: En este trabajo se pidió que se diseñara un algoritmo que cuando se ejecutará desarrollara el método de trazador cubico y el método de Runge Kutta y también se pide explicar para sirven estos dos métodos.

PALABRAS CLAVE: matlab, Runge Kutta, trazador cubico.


I. INTRODUCCIÓN:
Con base a lo visto en clase se desarrollara y se explicaran los métodos de Rugen Kutta y el de eltrazador cubico.

II. MARCO TEORICO


Trazador cubico:

Este dispositivo matemático equivale a la regla flexible que usan algunos dibujantes y que permite acomodarla para seguir de una manera suave la trayectoria de los puntos sobre un plano.
El trazador cubico natural:
Dados los puntos (Xi,Yi),i=1, 2, …,n, el trazador cubico natural es un conjunto de n-1 polinomios de grado tres colocadosuno a uno entre cada par de puntos consecutivos, de tal manera que haya continuidad, manteniendo igual pendiente y curvatura con los polinomios de intervalos adyacentes.

Figura 1, definición del trazador cubico natural

Formulación para el trazador cúbico natural:
Polinomio para cada intervalo:




Figura 2, representación grafica de como trabaja el método

Para cada uno de estospolinomios deben determinarse los coeficientes.

Los puntos necesariamente están espaciados en forma regular por lo que conviene asignar un nombre a cada una de las distancias entre puntos consecutivos:

El siguiente desarrollo basado en las condiciones requeridas para p(x) permite obtener los coeficientes del polinomio.
Sea y=p(x) el polinomio en cualquier intervalo i, i=1, 2, …., n-1;
Estepolinomio debe incluir a los extremos de cada intervalo 1:

Las dos primeras derivadas de y=p(x)

por simplicidad se usa la siguiente notación para la segunda derivada

Evaluamos la segunda derivada en los extremos del intervalo i:

Ecuación 5

De donde se obtiene

Ecuación 6


Sustituimos (1), (5), y (6) en (2)

De donde se obtiene:

Con lo que los coeficientes de p(x) quedanexpresados mediantes los datos dados y los valores de las segundas derivadas S





Método de Rugen Kutta

 Los métodos de Runge-Kutta son un conjunto de métodos genéricos iterativos, explícitos e implícitos, de resolución numérica de ecuaciones diferenciales. Este conjunto de métodos fue inicialmente desarrollado alrededor del año 1900 por los matemáticos C. Runge y M. W. Kutta.

El métodode Runge-Kutta es un métodogenérico de resolución numérica deecuaciones diferenciales.

El método de Runge-Kutta no es sólo unúnico método, sino una importante familiade métodos iterativos, tanto implícitoscomo explícitos, para aproximar lassoluciones de ecuaciones diferencialesordinarias (E.D.O´s); estas técnicas fuerondesarrolladas alrededor de 1900 por losmatemáticos alemanes Carl DavidTolméRunge y Martin Wilhelm Kutta

Método de Runge-Kutta de cuarto orden

Un miembro de la familia de los métodosRunge-Kutta es usado tan comúnmente que a menudo es referenciado como “RK4” ocomo “el método RungeKutta”.

Definamos un problema de valor inicialcomo:



Así, el siguiente valor (yn+1) es determinado por el presente valor (y n) más el producto del tamaño del intervalo (h) por unapendiente estimada. La pendiente es un promedio ponderado de pendientes, donde K1 es la pendiente al principio del intervalo, K2 es la pendiente en el punto medio del intervalo, usando K1 para determinar el valor de “y” en el punto X(n) + (h/2) usando el método de Euler. K3 Es otra vez la pendiente del punto medio, pero ahora usando K2 para determinar el valor de “y”.

III. DESARROLLO DE LAPRÁCTICA:

Parte a: método de Rugen Kutta

Lo primero que se hizo fue hacer el código en matlab en matlab.
Se empezó declarando las variables que se utilizarían, se piden los datos que se tengan que pedir, se crea un vector de n campos para colocar los valores de x, se llena ese vector para ello se utiliza un For i=2:1:n y se escribe que ii=i-1 entonces xo(1,i)=1+ii*h y se cierra el for.
Se...