Amplitud y Periodo

Amplitud y Periodo
 
Objetivos de Aprendizaje
         Entender la amplitud y el periodo.
         Graficar la función seno con cambios en la amplitud y el periodo.
         Graficar la función coseno con cambios en la amplitud y el periodo.
         Corresponder una función seno o coseno con su gráfica y vice versa.
 
Introducción
 
Sabes como graficar las funciones  y . Ahoraaprenderás cómo graficar toda la “familia” de las funciones seno y coseno. Estas funciones tienen la forma  o , donde a y b son constantes.
 
 
Funciones Periódicas
 
Anteriormente, usamos la variable  para mostrar un ángulo en la posición estándar, y también nos referimos a las funciones seno y coseno como  y . Normalmente las funciones seno y coseno se usan en aplicaciones que no tienen nadaque ver con triángulos o ángulos, y la letra x se usa en lugar de  para la entrada (así como para etiquetar el eje horizontal). Entonces, de hoy en adelante, nos referiremos a las mismas funciones como  y . Este cambio no afecta las gráficas.
 
Sabes que las gráficas de las funciones seno y coseno tienen un patrón de lomas y valles que se repiten. La longitud de éste patrón es . Esto es, lagráfica de  ( o ) en el intervalo  se parece a la gráfica en el intervalo  o  o . El patrón continúa infinitamente en ambas direcciones.
 
La gráfica siguiente muestra cuatro repeticiones del patrón de longitud . Cada una contiene exactamente una copia completa del patrón “loma y valle”.
 

 
Si una función tiene un patrón repetitivo como el seno o el coseno, se llama función periódica. El periodoes la longitud del intervalo más pequeño que contiene exactamente una copia del patrón repetido. Entonces el periodo de  o  es . Cualquier parte de la gráfica que muestre éste patrón sobre un periodo se llama ciclo. Por ejemplo, la gráfica de  en el intervalo  es un ciclo.
 

 
Sabes que de graficar funciones cuadráticas de la forma  que conforme cambias el valor de a cambias el “ancho” de lagráfica. Ahora estudiaremos las funciones de la forma  y veremos cómo los cambios en b afectan la gráfica. Por ejemplo, ¿es  periódica?, y si lo es, ¿cuál es el periodo? Aquí hay una tabla con algunas entradas y salidas para ésta función.
 
x (en radianes)
2x (en radianes)
sen2x
0
0
0





1





0











0
 
Conforme los valores de x van de 0 a , los valoresde  van de 0 a . Podemos ver de la gráfica que la función  es una función periódica, y va por un ciclo completo en el intervalo [0, ], entonces su periodo es . Si sustituyes valores de x de  a , los valores de  irían de  a , y  pasarían por otro ciclo completo de la función seno.
 

 
Observa que tiene dos ciclos en el intervalo [0, 2], que es el intervalo necesita para completar un ciclocompleto.
 
 
¿Cuál es el valor positivo más pequeño de x donde  está en su mínimo?
 
A)
B)
C)
D)
 
Mostrar/Ocultar Respuesta
 
 
¿Cuál es el periodo de la función ? Aquí hay una tabla con algunas entradas y salidas para ésta función.
 
x (en radianes)
3x (en radianes)
sen3x
0
0
0





1





0











0
 
Conforme los valores de x van de 0 a , losvalores de  van de 0 a . Podemos ver de la gráfica que  hace un ciclo completo en el intervalo , por lo que su periodo es .
 

 
Observa que tiene tres ciclos en el intervalo [0, 2], que es el intervalo necesita para completar un ciclo completo.
¿Cuál es el periodo de la función ? Aquí hay una tabla con algunas entradas y salidas para ésta función.
 
x (en radianes)
x (en radianes)
sen
00
0





1





0











0
 
Conforme los valores de x van de 0 a , los valores de  van de 0 a .
Podemos ver de la gráfica que  hace un ciclo completo en el intervalo , entonces su periodo es .
 

 
Observa que tiene medio ciclo en el intervalo [0, 2], que es el intervalo necesita para completar un ciclo completo.
 
Pongamos éstos resultados en una tabla....