Análisis de esfuerzo en un punto

Análisis de esfuerzo en un punto 3D

Una de las tareas más importantes en la mecánica de rocas es la determinación de los esfuerzos en un punto. Si es posible determinar el estado de esfuerzos en un punto arbitrario del elemento, será posible determinar si el elemento puede soportar las fuerzas a las que está sujeto. Esta determinación involucra la selección y aplicación de una teoría de fallaapropiada al material de que está formado el elemento, sea dúctil o frágil, y el tipo de carga, sea estática o dinámica.
El estado de esfuerzos en un punto, P, representa los esfuerzos a los que está sujeto el punto en tres planos que usualmente se seleccionan mutuamente perpendiculares que pasan por el punto. El estado de esfuerzos en un punto, P, se representa como un cubo en cuyas carasaparecen los esfuerzos a los cuales está sujeto el punto. Es importante notar que los planos pasan por el mismo punto P, y que por lo tanto, las dimensiones del cubo son infinitamente pequeñas.
Los esfuerzos que aparecen en cada una de las caras pueden representarse de manera matricial como

Ec.(1)

De las ecuaciones de equilibrio, puede probarse que


Ec.(2)

Sustituyendo los resultadosindicados en la ecuación (2) en la ecuación (1) se tiene que el estado de esfuerzos S está dado por una matriz simétrica, es decir


Ec.(3)


Más aun, puede probarse que el estado de esfuerzos S está sujeto a reglas especıficas de transformación y constituye lo que se llama un tensor simétrico de segundo orden.

Estado de Esfuerzos en un Punto.

Determinación de los Esfuerzos y DireccionesPrincipales.
Considere que se desea obtener los esfuerzos en el punto P en un plano, que pasa por el mismo punto P tal quela normal al plano está dada por el vector unitario = (nx, ny, nz), puede entonces probarse, vea [1], que las componentes cartesianas del esfuerzo T que aparece en el plano están dadas por


Ec.(4)

Esfuerzo en plano arbitrario

Esta ecuación (4) puede escribirse enforma matricial como

Ec.(5)

A fın de aplicar alguna de las teorías de falla, tanto para materiales frágiles como dúctiles, tanto para cuando las cargas aplicadas al elemento mecánico son estáticas o dinámicas, es necesario y frecuentemente indispensable determinar los esfuerzos principales que actúan sobre un punto. En la mecánica de los sólidos los esfuerzosprincipales, en un punto P, se definencomo los esfuerzos que aparecen en ese punto P en planos, que se denominan principales, en los que el esfuerzo tiene la dirección de la normal al plano. Esta característica implica que en los planos asociados a las direcciones principales, no hay esfuerzos cortantes y en esos planos


Ec.(6)

En esas circunstancias, debe quedar claro que la búsqueda de los esfuerzos y direccionesprincipales, se reduce a la determinación de los valores y vectores del estado de esfuerzo en un punto, pues sustituyendo la ecuación (6) en la ecuación (5) se tiene que


Ec.(7)

El desarrollo de las componentes en 3D de los esfuerzos se realiza por medio de la siguiente matriz:





Figura 1. Fuerzas que actúan paralelamente a la cara frontal de un sólido triangular

Analicemos las fuerzasque actúan paralelamente a la cara frontal del sólido triangular de la Figura 1. Ya que consideramos un plano, el problema es bidimensional. Si el área de la cara de la hipotenusa es uno, entonces el área de la cara izquierda es uno por sen θ, mientras que el área del fondo es uno por cos θ. Las fuerzas que actúan en las tres caras son el esfuerzo multiplicado por el área de cada cara (Fuerza =(fuerza/área)*área). Sumando las fuerzas en las direcciones vertical y horizontal (que suman cero), tenemos



En muchas aplicaciones geológicas, el plano que nos interesa es un plano de falla. Podemos resolver ahora estas dos ecuaciones para σn y τ (en estas ecuaciones θ es el ángulo entre σ1 y la normal al plano de falla).



Recordamos que:


El problema general del balance de fuerzas...