Análisis de Varianza

PRUEBA DE LA VARIANZA CON UNA POBLACIÓN
A veces, los analistas investigan la variabilidad de una población, en lugar de su media o proporción.
Esto es debido a que la uniformidad de la producción muchas veces es crítica en la práctica industrial.
La variabilidad excesiva es el peor enemigo de la alta calidad y la prueba de hipótesis está diseñada para
determinar si la varianza de unapoblación es igual a algún valor predeterminado.
La desviación estándar de una colección de datos se usa para describir la variabilidad en esa colección y se
puede definir como la diferencia estándar entre los elementos de una colección de datos y su media.
La varianza de un conjunto de datos se define como el cuadrado de su desviación estándar; y la varianza
muestral se utiliza para probar lahipótesis nula que se refiere a la variabilidad y es útil para entender el
pocedimiento de análisis de la varianza.
La hipótesis nula; para la prueba de la varianza, es que la varianza poblacional es igual a algún valor
previamente especificado. Como el aspecto de interés, por lo general es si la varianza de la población es
mayor que este valor, siempre se aplica una de una cola.
Para probar lahipótesis nula, se toma una muestra aleatoria de elementos de una población que se investiga; y
a partir de esos datos, se calcula el estadístico de prueba.
Para este cálculo se utiliza la siguiente ecuación:
( n − 1 ) s2
‚ = −−−−−−−−−−−−−−−−
‚
Donde:
* n−1 = Grados de libertad para la prueba de tamaño n.
* s2 = Varianza muestral.
* ‚ = Varianza poblacional si y solo si suponemos que lahipótesis nula
es cierta.
EJEMPLO
1.− Averiguar si la variabilidad de edades en una comunidad local es la misma o mayor que la de todo el
Estado. La desviación estándar de las edades del Estado, conocida por un estudio reciente es de 12 años.
Tomamos una muestra aleatoria de 25 personas de la comunidad y determinamos sus edades. Calcular la
varianza de la muestra y usar la ecuación anteriormenteexplicada para obtener el estadístico muestral.
Las hipótesis nula y alternativas son:

1

• H0 : ‚ = 144
• H1 : ‚ 144
Se toma la muestra y resulta una desviación estándar muestral de 15
Años. La varianza de la muestra es entonces 225, y el estadístico ji cuadrada de la muestra es:
(n − 1 ) s2 (25−1)(15)2
‚ = −−−−−−−−−−−−−−− = −−−−−−−−−−−−−−−−−−− = 37,5
‚ 122
Si la hipótesis nula escierta, el estadístico muestral de 37,5 se obtiene de la distribución ji cuadrada teórica, en
particular, la distribución con 24 grados de libertad ( 25 − 1 = 24 ).
Como se puede observar en la ecuación anterior, cuanto mas grande es la varianza muestral respecto a la
varianza poblacional hipotética, mas grande es el estadístico que se obtiene. Luego deducimos que de un
estadístico muestral grandellevamos al rechazo de la hipótesis nula, y un estadístico muestral pequeño
implicará que no se rechaze. La tabla ji cuadrada se usa para determinar si es probable o no que el valor 37,5
haya sido obtenido de la distribución muestral ji cuadrada hipotética.
Supongamos que esta prueba debe llevarse a un nivel de significancia de 0,02. En la columna 0,02 de la tabla
de ji cuadrada y la fila 24,se encuentra el valor critico de 40, 27. La regla de decisión es:
Si ‚ 40,27, se rechaza la hipótesis nula de que la varianza de la población es 144 ( Se rechaza H0 si ‚ >
40,27 ).
Como estadístico de prueba calculado es 37,5, la hipótesis nula no se rechaza (con riesgo de un error de tipo
II). Si en la tabla de ji cuadrada se hubiese elegido un alfa de 0,05, el valor crítico de la tabla sería36,415, y la
hipótesis nula se hubiera rechazado (37,5 > 36,415). En este ejemplo se ilustra la importancia de pensar con
cuidado en el riesgo apropiado de un error de tipo I en una prueba de hipótesis.
Se supone que la hipótesis nula es cierta, lo que conduce a la obtención de un estadístico muestral de una
distribución ji cuadrada con 2 grados de libertad.

2

PRUEBA DE LA...