Análisis Dimensional Y Semejanza

Análisis dimensional y semejanza.

El análisis dimensional es un método para verificar ecuaciones y planificar experimentos sistemáticos. A partir del análisis dimensional se obtienen una serie de grupos adimensionales, que van a permitir utilizar los resultados experimentales obtenidos en condiciones limitadas, a situaciones en que se tengan diferentes dimensiones geométricas, cinemáticas ydinámicas; y muchas veces en casos en que las propiedades del fluido y del flujo son distintas de las que se tuvieron durante los experimentos. La importancia del análisis dimensional viene dada por la dificultad del establecimiento de ecuaciones en determinados flujos, además de la dificultad de su resolución, siendo imposible obtener relaciones empíricas y teniendo que recurrir al métodoexperimental. Es importante considerar que si en un experimento en un modelo (a escala geométrica del prototipo), se pueden obtener las escalas cinemáticas (relaciones de velocidades) y las escalas dinámicas (relaciones de fuerzas), los resultados adimensionales que se obtienen para el modelo son también válidos para el prototipo.
Aunque el objeto del análisis dimensional es reducir variables y agruparlas enforma adimensional, este método ofrece varias ventajas adicionales. La primera es un enorme ahorro de tiempo y dinero. Supongamos que se sabe que la fuerza F sobre un cuerpo inmerso en la corriente de un fluido depende sólo de la longitud del cuerpo L, de la velocidad de la corriente V, de la densidad del fluido ρ y de su viscosidad µ; esto es,

Un segundo aspecto favorable del análisisdimensional consiste en que nos ayuda a pensar y planificar un experimento o teoría. Sugiere formas adimensionales de las ecuaciones antes de gastar tiempo y dinero para encontrar las soluciones con ordenador. Sugiere las variables que deben descartarse; algunas veces se pueden rechazar variables o grupos de variables mediante el uso del análisis dimensional, haciendo algunos ensayos que muestran que sonpoco importantes. Finalmente, el análisis dimensional da a menudo gran información sobre las relaciones físicas que estamos intentando estudiar.
Una tercera ventaja del análisis dimensional es que proporciona las leyes de escala que pueden convertir los datos obtenidos sobre un pequeño modelo en información para el diseño de un prototipo grande. Mediremos primero la sustentación sobre un pequeñomodelo y utilizaremos después las leyes de semejanza para pre decir la sustentación del prototipo. Cuando las leyes de escala son válidas, diremos que existe semejanza entre el modelo y el prototipo. En el caso de la Ecuación, existe semejanza si el número de Reynolds es el mismo para el modelo y prototipo, porque la función g exige entonces que el coeficiente de fuerza sea también el mismo:

Dondelos subíndices m y p significan modelo y prototipo, respectivamente. De la definición del coeficiente de fuerza, esto indica que

EL PRINCIPIO DE HOMOGENEIDAD DIMENSIONAL

Si una ecuación expresa correctamente una relación entre variables de un proceso físico, debe ser dimensionalmente homogénea; esto es, todos sus sumandos deben tener las mismas dimensiones.
Todas las ecuaciones deducidasmediante la teoría de la mecánica son de esta forma. Por ejemplo, consideremos la relación que expresa el espacio que recorre un cuerpo en caída libre en función del tiempo:

Variables y constantes

Las variables dimensionales son las cantidades que varían en un caso dado y podrían representarse unas en función de otras para mostrar los resultados. Todas tienen dimensiones y todas pueden hacerseadimensionales mediante alguna técnica del análisis dimensional.
Las constantes dimensionales pueden variar de un caso a otro, pero se mantienen constantes en un experimento dado. Todas tienen dimensiones y podrían hacerse adimensionales con otras, pero normalmente se utilizan para hacer adimensionales las variables del problema.
Las constantes puras no tienen dimensiones y nunca las tendrán. Aparecen...