análisis multivariente

LOS ERRORES j I y II EN LAS PRUEBAS DE HIPOTESIS

Analicemos los errores que se pueden cometer al aceptar o rechazar H0, cuales son las probabilidades de cometer cada uno de ellos y como se usa esto para determinar las regiones de rechazo y aceptación.
La hipótesis nula H0 puede ser verdadera o falsa, cosa que no conocemos.

Si H0 es verdadera y la rechazamos se comete un error llamado detipo I.
Si H0 es falsa y la aceptamos se comete un error llamado de tipo II.

Tabla de decisiones.

Hipótesis nula
Decisión
Verdadera
Falsa
Rechazar H0
Error tipo I
Decisión correcta
Aceptar H0
Decisión correcta
Error tipo II

La validez o bondad de una prueba de hipótesis se mide mediante las probabilidades de cometer cada uno de estos errores

 probabilidad de cometer unerror de tipo I
 probabilidad de cometer un error de tipo II

 corresponde a la región de rechazo.
 corresponde a la región de aceptación.

Volvamos al ejemplo que estábamos considerando.

Ejemplo. Sea p la proporción de consumidores que prefieren la marca A.
a) Ha: p > 0.5
H0: p = 0.5
b) Se seleccionan 100 consumidores y se les pregunta si prefieren la marca A.
En este caso lamuestra se extrae de una población binomial con parámetro p.
c) Estadística de prueba: x la cantidad de consumidores que prefieren A de los 100 de la muestra.

Error tipo I:
Supongamos que H0 es verdadera, es decir, se cumple que p = 0.5. Entonces se puede cometer un error tipo I, cuando se rechaza H0. Veamos como se calcula .

Como H0 es verdadera, x tiene una distribución binomial conparámetro p = 0.5. Como el tamaño n = 100 de la muestra es grande se puede suponer normal con
x = n p = 100 (0.5) = 50
x = = = 5
Si se define como
región de rechazo: x   + 2 = 60,
la probabilidad de cometer un error tipo I, es decir de rechazar H0 siendo esta verdadera es
 = P( x  60 ) = 0.025.
Es decir x caerá en la región de rechazo 2.5% de las veces, cometiéndose un error alrechazar H0 siendo verdadera. Vemos además que el valor de  queda fijo al fijar la región de rechazo.




Error tipo II:
Supongamos que H0 es falsa, es decir, se cumple que p 0.5. Entonces se puede cometer un error tipo II.

Como H0 es falsa, x tiene una distribución binomial con parámetro p desconocido. Como el tamaño n = 100 de la muestra es grande se puede suponer normal con
 = n p =100 p
 = =
Aunque sabemos que la distribución de x es normal, como desconocemos p no es imposible calcular la probabilidad de x que caiga en un determinado intervalo, y por ende .


Sin embargo, podemos ver como se comporta  de acuerdo a si p se encuentra cerca o lejos del valor estipulado en H0, que es 0.5.
Si p = 0.9, en la muestra de 100 consumidores casi la totalidad estará a favorde la marca A, con lo cual x estaría bastante cerca de 100. De este modo, tendríamos una evidencia muy fuerte para rechazar H0: p = 0.5, y por ende de no equivocarnos. Es decir,  en este caso es chico.
Si p = 0.55, en la muestra de 100 consumidores casi la mitad estaría a favor de la marca A. De este modo, tendríamos evidencia como para aceptar H0: p = 0.5, y por ende de equivocarnos. Esdecir,  en este caso es grande.
En definitiva, mientras mayor sea la diferencia entre p real y el que propone H0, menor es probabilidad de cometer un error tipo II, es decir, menor es .
Relación entre los dos tipos de errores.
 corresponde a la región de rechazo.
 corresponde a la región de aceptación.

Mientras más grande (chica) es la región de rechazo más chica (grande) es la región deaceptación.
Si  crece (disminuye) entonces  disminuye (crece).

En general se tiene,

Propiedades de  y 
1. El valor de  se fija al escoger la región de rechazo.
2. El valor de  dependerá del valor que se use para definir H0.
Mientras más grande (chica) sea la diferencia entre el valor que se use para definir H0 y el valor real del parámetro, menor (mayor) será .
3. Si ...