Análisis vectorial

SESIÓN 3: ANÁLISIS VECTORIAL

Lic. Fís. Javier Pulido Villanueva

Introducción

Producto Escalar de dos vectores
Definición
El producto escalar de dos vectores 𝑨 y 𝑩, representado por el símbolo 𝑨 ∙ 𝑩,
se define como el producto de las magnitudes de 𝑨 y 𝑩 y el coseno del ángulo
𝜃 formado por 𝑨 y 𝑩. Se escribe
𝑩
𝑨 ∙ 𝑩 = 𝐴𝐵 cos 𝜃
𝜃
donde 0° ≤ 𝜃 ≤ 180°.

𝐵 cos 𝜃

𝑨

El producto escalar de dosvectores 𝑨 y 𝑩 da como resultado un escalar y no

un vector.

Puesto que 𝐵 cos 𝜃 representa el módulo de la proyección del vector 𝑩 sobre la
dirección del vector 𝑨, esto es 𝐵 cos 𝜃 = proy𝐴 𝑩, será
𝑩
𝑨 ∙ 𝑩 = 𝐴 proy𝐴 𝑩

𝜃
proy𝐴 𝑩

𝑨

de modo que el producto escalar de dos vectores también puede definirse

como producto del módulo de uno de los vectores por la proyección del otro
sobre él.

La longitudproyectada 𝐵 cos 𝜃 se denomina componente ortogonal de 𝑩 en la
dirección de 𝑨.

Propiedades del Producto Escalar
1. ES CONMUTATIVO
𝑨∙𝑩=𝑩∙𝑨
2. ES DISTRIBUTIVO
𝑨∙ 𝑩+𝑪 =𝑨∙𝑩+𝑨∙𝑪

3. MULTIPLICACIÓN POR UN ESCALAR: ley asociativa
𝑚 𝑨 ∙ 𝑩 = 𝑚𝑨 ∙ 𝑩 = 𝑨 ∙ 𝑚𝑩 = 𝑨 ∙ 𝑩 𝑚
4. CONDICIÓN DE PERPENDICULARIDAD
Si dos vectores 𝑨 y 𝑩 son perpendiculares su producto escalar es cero. En

efecto

𝑨 ∙ 𝑩 = 𝐴𝐵 cos 𝜃

como𝜃 = 90° entonces cos 90° = 0, luego

𝑨∙𝑩=0

5. CONDICIÓN DE PARALELISMO
Si dos vectores 𝑨 y 𝑩 tienen la misma dirección y sentido, su producto
escalar es igual al producto de sus módulos.
En efecto
𝑨 ∙ 𝑩 = 𝐴𝐵 cos 𝜃
como 𝜃 = 0° entonces cos 0° = 1, luego

𝑨 ∙ 𝑩 = 𝐴𝐵
si 𝑨 lo multiplicamos consigo mismo
𝑨 ∙ 𝑨 = 𝐴2
o también si 𝑩 lo multiplicamos consigo mismo
𝑩 ∙ 𝑩 = 𝐵2

6. PRODUCTO ESCALAR DE LOSVECTORES UNITARIOS CARTESIANOS
Los vectores unitarios cartesianos 𝒊 , 𝒋 y 𝒌 tienen magnitud 1 y son
perpendiculares entre sí. De la definición de producto escalar,

𝒊 ∙ 𝒋 = 1 1 cos 90° = 1 1 0 = 0
de forma análoga para 𝒊 ∙ 𝒌 y 𝒋 ∙ 𝒌, se tiene
𝒊∙𝒋=𝒊∙𝒌= 𝒋∙𝒌= 0
Luego expresamos para
𝒊 ∙ 𝒊 = 1 1 cos 0° = 1 1 1 = 1
de forma análoga para 𝒋 ∙ 𝒋 y 𝒌 ∙ 𝒌,se tiene
𝒊∙𝒊= 𝒋∙𝒋=𝒌∙𝒌= 1

7. EXPRESIÓN ANÁLITICADEL PRODUCTO ESCALAR
Sean los vectores 𝑨 y 𝑩 expresados en su forma rectangular
𝑨 = 𝐴𝑥 𝒊 + 𝐴𝑦 𝒋 + 𝐴𝑧 𝒌
𝑩 = 𝐵𝑥 𝒊 + 𝐵𝑦 𝒋 + 𝐵𝑧 𝒌
Su producto escalar será
𝑨 ∙ 𝑩 = 𝐴𝑥 𝒊 + 𝐴𝑦 𝒋 + 𝐴𝑧 𝒌 ∙ 𝐵𝑥 𝒊 + 𝐵𝑦 𝒋 + 𝐵𝑧 𝒌
desarrollando y aplicando la Propiedad 6, se tiene
𝑨 ∙ 𝑩 = 𝐴𝑥 𝐵𝑥 + 𝐴𝑦 𝐵𝑦 + 𝐴𝑧 𝐵𝑍

8. MÓDULO DE UN VECTOR
Si 𝑨 = 𝐴𝑥 𝒊 + 𝐴𝑦 𝒋 + 𝐴𝑧 𝒌 lo multiplicamos consigo mismo se tiene
𝑨 ∙ 𝑨 = 𝐴2 = 𝐴2𝑥 + 𝐴2𝑦 + 𝐴2𝑧9. ÁNGULO FORMADO POR DOS VECTORES
El ángulo entre dos vectores 𝑨 y 𝑩 pueden determinarse a partir de la
definición, así
cos 𝜃 =

𝑨∙𝑩
𝐴𝐵

luego por propiedad 7, se tiene
cos 𝜃 =
donde 0° ≤ 𝜃 ≤ 180°

𝐴𝑥 𝐵𝑥 + 𝐴𝑦 𝐵𝑦 + 𝐴𝑧 𝐵𝑧
𝐴𝐵

PROBLEMA EJEMPLO 1
Dado los vectores
𝑨 = 𝒊 − 𝒋 + 2𝒌
𝑩 = −𝒊 + 3𝒋 + 4𝒌
Calcular:
(a) El producto escalar de ambos vectores.
(b) El ángulo entre 𝑨 y 𝑩.
(c) La proyección de 𝑩sobre 𝑨.

PROBLEMA EJEMPLO 2

Hallar el vector unitario paralelo al plano OYZ, y perpendicular al vector
𝑨 = 2𝒊 + 𝒋 − 3𝒌.

PROBLEMA DE APLICACIÓN 1
La estructura que se muestra en la figura está sometida a una fuerza
horizontal 𝑭 = 300𝒋 N. Determine la magnitud de las componentes de esta
fuerza paralela y perpendicular al elemento AB.

PROBLEMA DE APLICACIÓN 2
Determine la componente proyectada dela fuerza 𝐹𝐴𝐵 = 560 N que actúa a lo
largo del cable AC. Exprese el resultado como un vector cartesiano.

Producto Vectorial de dos vectores
Definición
El producto vectorial o producto vector de dos vectores 𝑨 y 𝑩 da como
resultado otro vector 𝑪, se escribe
𝑪=𝑨×𝑩
𝑩

𝑪=𝑨×𝑩
𝜃

𝑨
La línea de acción de 𝑪 es perpendicular al plano formado por los vectores 𝑨
y 𝑩.

La magnitud del vector 𝑪 se definecomo
𝐶 = 𝐴𝐵 sen 𝜃

;

0° ≤ 𝜃 ≤ 180°

La dirección y sentido del vector 𝑪 se obtiene a partir de la regla de la mano
derecha.

𝒖𝐶
𝑪
𝑩

𝑪 = 𝐴𝐵 sen 𝜃 𝒖𝐶
𝜃

𝑨

𝑪
Como los vectores 𝑨, 𝑩 y 𝑪, tomados en ese orden, tiene
el mismo punto de aplicación, forman una triada de mano

derecha.

𝑨

𝑩

La magnitud del producto vector 𝑨 × 𝑩 es igual al área del paralelogramo que
tiene a los vectores 𝑨 y 𝑩 como...