Analisis De Dualidad

INVESTIGACION DE OPERACIONES I
ANALISIS DE DUALIDAD

1 FIA Ingeniería Industrial UNIDAD III

Prof: Cristela Fuentes

http://www.ufg.edu.sv

EL PROBLEMA DUAL Introducción Todo problema de Programación Lineal tiene asociado un segundo problema, conocido como su problema Dual. Ambos están relacionados estrechamente, hasta el punto de que el modelo de uno puede obtenerse a partir del modelodel otro y la solución óptima del modelo del primero proporciona información completa acerca de la solución óptima del segundo. Una de las ventajas de la existencia del problema dual es la posibilidad de reducir el esfuerzo computacional al resolver ciertos modelos de Programación Lineal. El matemático norteamericano John Von Neumann fue el primero en destacar la existencia de la dualidad en laprogramación lineal y a partir de allí el concepto se ha usado en una gran variedad de áreas teóricas y prácticas de la misma. CONCEPTUALIZACION DE LA DUALIDAD Para comprender el concepto de dualidad analicemos los dos casos siguientes. Caso 1. Una compañía produce dos tipos de artículo; la unidad del tipo 1 se vende a $106 y la del tipo 2 a $144. Para el presente mes la empresa cuenta con 2000minutos de mano de obra en el departamento de ensamble, 1800 en el departamento de revisión y con 1000 en el departamento de empaque. El número de minutos requeridos en cada departamento para la fabricación de una unidad de cada uno de los artículos se da en la siguiente tabla: -------------------------------------------------------------Tipo de Operación Producto-----------------------------------------Ensamble Revisión empaque ---------------------------------------------------------------Tipo 1 3 2 1 Tipo 2 2 3 2 El pago por minuto es de $10 a los trabajadores del departamento de ensamble, $8 a los de revisión y de $20 a los del departamento de empaque. El administrador de la empresa desea determinar cuál es el programa de producción que maximiza la utilidad total en el mes.CONSTRUCCIÓN DEL MODELO

INVESTIGACION DE OPERACIONES I
ANALISIS DE DUALIDAD

2 FIA Ingeniería Industrial UNIDAD III

Prof: Cristela Fuentes

http://www.ufg.edu.sv

Definamos a Xi mensualmente.

como el número de artículos de tipo i que se deben producir

Para plantear la función del objetivo calculemos primero la utilidad unitaria de cada tipo de artículo, así:--------------------------------------------------------------Tipo de producto ------------------------------------------------------------Tipo 1 Tipo 2 ------------------------------------------------------------Precio de venta - Costo de producción Costo de ensamble Costo de revisión Costo de empaque 106 66 3(10) = 30 2(8) = 16 1(20) = 2 ------66 -----$40 144 84 2(10) = 20 3( 8) = 24 2(20) = 40 -----84 -----$60

= Utilidadunitaria

De manera que el modelo de programación lineal para este problema es: Maximizar Z = 40X1 + 60X2 Sujeta a: 3X1 + 2X2 ≤ 2000 (minutos de ensamble) 2X1 + 3X2 ≤ 1800 (minutos de revisión) 1X1 + 2X2 ≤ 1000 (minutos de empaque) Con X1, X2 ≥ 0 OTRO ENFOQUE DEL MISMO PROBLEMA Se construirá un modelo de Programación lineal para este problema. Sean Yi = utilidad unitaria que debo fijar en elprecio de venta del recurso i

Como estamos dispuestos a vender toda la cantidad disponible de los recursos (minutos de ensamble, de revisión y de empaque), el objetivo será minimizar la siguiente función Minimizar Z = 2000Y1 + 1800Y2 + 1000Y3

INVESTIGACION DE OPERACIONES I
ANALISIS DE DUALIDAD

3 FIA Ingeniería Industrial UNIDAD III

Prof: Cristela Fuentes

http://www.ufg.edu.sv

Enel proceso productivo se utilizan 3 minutos de ensamble, 2 de revisión y uno de empaque, para fabricar una unidad del producto tipo 1,que da utilidad de $40, por lo cual es lógico pensar que la venta combinada de esas cantidades de los recursos debe arrojar al menos igual utilidad. La consideración anterior da lugar a la siguiente restricción en el modelo: 3Y1 + 2Y2 + 1Y3 ≥ 40 ($) Utilidad...