Analisis De Errores Metodos Numericos
Páginas: 9 (2023 palabras)
Publicado: 14 de octubre de 2012
TRABAJO 1
FUENTES DE ERRORES
1.- REPRESENTACION DE NUMEROS EN EL COMPUTADOR, ENTEROS Y DE PUNTO FLOTANTE, ERRORES DE REDONDEO, TRUNCAMIENTO
Representación de números en el computador de punto flotante.
Las computadoras trabajan con aritmética real cada número del computador se representa mediante un número finito de dígitos. Este conjunto, que sólo contiene números racionales, es llamadoconjunto de números de punto flotante.
σ: Signo del número (+1 ó -1).
β: entero que denota la base del sistema numérico usado.
β = 2 (S. binario), 8 (S. octal), 10 (S. decimal), 16 (S. hexadecimal)
a: son los dígitos de la base β con i = 1, 2, ..., t entero con 0 ≤ ai ≤ β–1. Si a₀=1 se dice que es un número normalizado entero con 0 ≤ ai ≤ β–1.
El término (.a₁a₂a₃...at) denota lasuma:
y es llamada mantisa.
t: indica el número de dígitos en la base β, llamado precisión.
t =6 ó t =7 Precisión simple para β = 10.
t =14 ó t =15 Precisión doble o extendida para β = 10.
e: entero llamado exponente, tal que, L ≤ e ≤ U. L(menor exponente) y U(mayor exponente) también son enteros y dependen de la máquina utilizada.
Dado que unnúmero en punto flotante puede expresarse de distintas formas que son equivalentes, es necesario establecer una única representación. Es por ello que se trabaja con números normalizados. Decimos que un número está normalizado si el dígito a la izquierda del punto está entre 0 y la base (0 < dígito a la izquierda < β)
Representación de números en el computador enteros.
Un número entero es unnúmero completo que puede ser negativo. Por lo tanto, el número se debe codificar de manera que se pueda distinguir si es positivo o negativo y de forma que siga las reglas de adición. El truco consiste en utilizar un método denominado complemento doble.
Un número entero o cero
Se representará en base binaria (base 2) como un número natural, con la excepción de que el bit de mayor peso(aquel que se encuentra más a la izquierda) representa el signo más o menos. Por lo tanto, para un número entero o cero, este bit se debe establecer en 0 (lo que corresponde al signo más, así como 1 es el signo menos). De este modo, si un número natural se codifica utilizando 4 bits, el mayor número posible será 0111 (o 7 en base decimal) Generalmente, el mayor número entero posible codificadoutilizando n bits será 2n-1-1.
Un número entero negativo
Se codifica utilizando complementos dobles. El principio de los complementos dobles:
Se elige un número negativo.
Se toma su valor absoluto (su equivalente positivo)
Se representa en base binaria utilizando n-1 bits
Cada bit se cambia con su complemento (es decir, los ceros se remplazan con unos y viceversa)
Se suma 1
Errores deredondeo
Los errores de redondeo se deben a que las computadoras solo guardan un número finito de cifras significativas durante un cálculo (notación del punto flotante).
La mayor parte de las computadoras tienen entre 7 y 14 cifras significativas su nivel depende de cada computadora, los errores de redondeo parecerían no ser muy importantes. Sin embargo, hay dos razones del por qué pueden resultarcríticos en algunos métodos numéricos:
1) Ciertos métodos requieren cantidades extremadamente grandes para obtener una respuesta. Además, estos cálculos a menudo dependen entre si, es decir, los cálculos posteriores son dependientes de los anteriores. En consecuencia, aunque un error de redondeo individual puede ser muy pequeño, el efecto de acumulación en el transcurso de la gran cantidad decálculos puede ser significativo.
2) El efecto de redondeo puede ser exagerado cuando se llevan a cabo operaciones algebraicas que emplean números muy pequeños y muy grandes al mismo tiempo. Ya que este caso se presenta en muchos métodos numéricos, el error de redondeo puede resultar de mucha importancia.
Por ejemplo: (1/3)=0.33333···· se redondea en número finito de dígitos.
Errores...
FUENTES DE ERRORES
1.- REPRESENTACION DE NUMEROS EN EL COMPUTADOR, ENTEROS Y DE PUNTO FLOTANTE, ERRORES DE REDONDEO, TRUNCAMIENTO
Representación de números en el computador de punto flotante.
Las computadoras trabajan con aritmética real cada número del computador se representa mediante un número finito de dígitos. Este conjunto, que sólo contiene números racionales, es llamadoconjunto de números de punto flotante.
σ: Signo del número (+1 ó -1).
β: entero que denota la base del sistema numérico usado.
β = 2 (S. binario), 8 (S. octal), 10 (S. decimal), 16 (S. hexadecimal)
a: son los dígitos de la base β con i = 1, 2, ..., t entero con 0 ≤ ai ≤ β–1. Si a₀=1 se dice que es un número normalizado entero con 0 ≤ ai ≤ β–1.
El término (.a₁a₂a₃...at) denota lasuma:
y es llamada mantisa.
t: indica el número de dígitos en la base β, llamado precisión.
t =6 ó t =7 Precisión simple para β = 10.
t =14 ó t =15 Precisión doble o extendida para β = 10.
e: entero llamado exponente, tal que, L ≤ e ≤ U. L(menor exponente) y U(mayor exponente) también son enteros y dependen de la máquina utilizada.
Dado que unnúmero en punto flotante puede expresarse de distintas formas que son equivalentes, es necesario establecer una única representación. Es por ello que se trabaja con números normalizados. Decimos que un número está normalizado si el dígito a la izquierda del punto está entre 0 y la base (0 < dígito a la izquierda < β)
Representación de números en el computador enteros.
Un número entero es unnúmero completo que puede ser negativo. Por lo tanto, el número se debe codificar de manera que se pueda distinguir si es positivo o negativo y de forma que siga las reglas de adición. El truco consiste en utilizar un método denominado complemento doble.
Un número entero o cero
Se representará en base binaria (base 2) como un número natural, con la excepción de que el bit de mayor peso(aquel que se encuentra más a la izquierda) representa el signo más o menos. Por lo tanto, para un número entero o cero, este bit se debe establecer en 0 (lo que corresponde al signo más, así como 1 es el signo menos). De este modo, si un número natural se codifica utilizando 4 bits, el mayor número posible será 0111 (o 7 en base decimal) Generalmente, el mayor número entero posible codificadoutilizando n bits será 2n-1-1.
Un número entero negativo
Se codifica utilizando complementos dobles. El principio de los complementos dobles:
Se elige un número negativo.
Se toma su valor absoluto (su equivalente positivo)
Se representa en base binaria utilizando n-1 bits
Cada bit se cambia con su complemento (es decir, los ceros se remplazan con unos y viceversa)
Se suma 1
Errores deredondeo
Los errores de redondeo se deben a que las computadoras solo guardan un número finito de cifras significativas durante un cálculo (notación del punto flotante).
La mayor parte de las computadoras tienen entre 7 y 14 cifras significativas su nivel depende de cada computadora, los errores de redondeo parecerían no ser muy importantes. Sin embargo, hay dos razones del por qué pueden resultarcríticos en algunos métodos numéricos:
1) Ciertos métodos requieren cantidades extremadamente grandes para obtener una respuesta. Además, estos cálculos a menudo dependen entre si, es decir, los cálculos posteriores son dependientes de los anteriores. En consecuencia, aunque un error de redondeo individual puede ser muy pequeño, el efecto de acumulación en el transcurso de la gran cantidad decálculos puede ser significativo.
2) El efecto de redondeo puede ser exagerado cuando se llevan a cabo operaciones algebraicas que emplean números muy pequeños y muy grandes al mismo tiempo. Ya que este caso se presenta en muchos métodos numéricos, el error de redondeo puede resultar de mucha importancia.
Por ejemplo: (1/3)=0.33333···· se redondea en número finito de dígitos.
Errores...
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