Analisis de lienalidad de un tanque conico
Páginas: 6 (1321 palabras)
Publicado: 9 de julio de 2010
Análisis de linealidad tanque cónico
Jairo Vargas Celeño
jairocale@yahoo.com
Resumen: en este documento se presenta el análisis de linealidad de un tanque cónico; el objetivo consiste en analizar y verificar la respuesta del sistema así como realizar la identificación a través de el algoritmo de mínimos cuadrados y el Toolbox de Matlab® IDENT.
Palabras Clave: análisis lineal, nolineal, estabilidad, linealización, identificación.
1. INTRODUCCION
El presente artículo muestra el proceso para el análisis de linealidad de un sistema clásico como lo es un tanque de almacenamiento de líquido con geometría cónica. El trabajo se dividió en cinco partes principales: 1) Selección y modelamiento matemático de la planta, 2) Prueba de linealidad, 3) Linealización del modelo en un puntode operación, 4) Identificación de un modelo del sistema empleando el toolbox Ident de Matlab y 5) Conclusiones.
2. MODELO TANQUE CONICO
La Figura 1., muestra un tanque para almacenamiento de agua con geometría cónica [1]. La entrada de control es el flujo de entrada (Qin) en la tubería superior del tanque.
La salida corresponde al nivel (h) de agua en el tanque.
[pic]
Figura No. 1.Tanque cónico
Qin es una variable controlable y cualquier cambio afecta de inmediato el sistema. Para el análisis se limita el flujo de entrada en el intervalo:
0 ≤ Qin ≤ 4*10-4 m3/s. (1.0)
El caudal de salida (Qout), es no controlable y se debe a la presión hidrostática. Se asume caudal de salida turbulento:
[pic] . (1.1)
Experimentalmentese ha encontrado que [pic]
La altura del tanque es de 0.5 m y el ángulo alfa es de 20°. En la practica el nivel de agua puede ser determinado de forma proporcional con la presión en el fondo del tanque.
Para el nivel h el volumen es:
[pic] (1.2)
Si se observa la Figura 1.0., se tiene que:
[pic]
Donde r(h) es el radio del tanque. h
Solucionando para h: [pic]Reemplazando r(h) en 1.2:
[pic] (1.3)
Derivando con respecto al tiempo,
[pic] (1.4)
El volumen del tanque lo podemos expresar como:
[pic] (1.5)
Solucionando para dh/dt:
[pic] (1.6)
Ahora se tiene:
[pic]=[pic] (1.7)
Sustituyendo (1.6) en (1.7):
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
Finalmente se obtiene la siguiente relación:
[pic] (1.8)
Donde [pic][pic]
Figura 2. Modelo de bloques del sistema
3. PRUEBAS DE LINEALIDAD
El punto de partida en el análisis de un sistema de control generalmente es un modelo matemático como el mostrado por la ecuación (1.8), donde las entradas y salidas del sistema se relacionan como un conjunto de ecuaciones diferenciales y/o en diferencia. La mayoría de los modelos matemáticos son no lineales lo que les dacierto grado de complejidad, sin embargo, tales fenómenos no lineales se pueden reducir y describir mediante modelos lineales.
Cuando se dice que un sistema es lineal [2] nos referimos a sistemas que cumplen simultáneamente las propiedades de homogeneidad y superposición.
La homogeneidad quiere decir que cuando la entrada de un sistema dado es modificada por un valor, la salida del sistemavaría en la misma proporción. La propiedad de superposición se cumple cuando la señal a la salida del sistema es igual a la suma de las salidas generadas por diferentes señales en la entrada.
La prueba de linealidad se realiza empleando tres señales de entrada U1, U2 y U3 tal y como se muestra en la Figura No. 3.
[pic]
Figura No. 3. Pruebas de linealidad
Las graficas de la Figura No.4., corresponden a la respuesta del sistema ante una entrada paso de una unidad.
[pic]
Figura No. 4. Respuesta del sistema
La grafica superior corresponde a la respuesta del sistema ante la entrada U1, la grafica del medio la respuesta ante la entrada U2 y la grafica inferior la respuesta ante la entrada U3. En este caso Y2 no equivale a 2Y1 lo que indica que no se cumple con la propiedad de...
Jairo Vargas Celeño
jairocale@yahoo.com
Resumen: en este documento se presenta el análisis de linealidad de un tanque cónico; el objetivo consiste en analizar y verificar la respuesta del sistema así como realizar la identificación a través de el algoritmo de mínimos cuadrados y el Toolbox de Matlab® IDENT.
Palabras Clave: análisis lineal, nolineal, estabilidad, linealización, identificación.
1. INTRODUCCION
El presente artículo muestra el proceso para el análisis de linealidad de un sistema clásico como lo es un tanque de almacenamiento de líquido con geometría cónica. El trabajo se dividió en cinco partes principales: 1) Selección y modelamiento matemático de la planta, 2) Prueba de linealidad, 3) Linealización del modelo en un puntode operación, 4) Identificación de un modelo del sistema empleando el toolbox Ident de Matlab y 5) Conclusiones.
2. MODELO TANQUE CONICO
La Figura 1., muestra un tanque para almacenamiento de agua con geometría cónica [1]. La entrada de control es el flujo de entrada (Qin) en la tubería superior del tanque.
La salida corresponde al nivel (h) de agua en el tanque.
[pic]
Figura No. 1.Tanque cónico
Qin es una variable controlable y cualquier cambio afecta de inmediato el sistema. Para el análisis se limita el flujo de entrada en el intervalo:
0 ≤ Qin ≤ 4*10-4 m3/s. (1.0)
El caudal de salida (Qout), es no controlable y se debe a la presión hidrostática. Se asume caudal de salida turbulento:
[pic] . (1.1)
Experimentalmentese ha encontrado que [pic]
La altura del tanque es de 0.5 m y el ángulo alfa es de 20°. En la practica el nivel de agua puede ser determinado de forma proporcional con la presión en el fondo del tanque.
Para el nivel h el volumen es:
[pic] (1.2)
Si se observa la Figura 1.0., se tiene que:
[pic]
Donde r(h) es el radio del tanque. h
Solucionando para h: [pic]Reemplazando r(h) en 1.2:
[pic] (1.3)
Derivando con respecto al tiempo,
[pic] (1.4)
El volumen del tanque lo podemos expresar como:
[pic] (1.5)
Solucionando para dh/dt:
[pic] (1.6)
Ahora se tiene:
[pic]=[pic] (1.7)
Sustituyendo (1.6) en (1.7):
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
Finalmente se obtiene la siguiente relación:
[pic] (1.8)
Donde [pic][pic]
Figura 2. Modelo de bloques del sistema
3. PRUEBAS DE LINEALIDAD
El punto de partida en el análisis de un sistema de control generalmente es un modelo matemático como el mostrado por la ecuación (1.8), donde las entradas y salidas del sistema se relacionan como un conjunto de ecuaciones diferenciales y/o en diferencia. La mayoría de los modelos matemáticos son no lineales lo que les dacierto grado de complejidad, sin embargo, tales fenómenos no lineales se pueden reducir y describir mediante modelos lineales.
Cuando se dice que un sistema es lineal [2] nos referimos a sistemas que cumplen simultáneamente las propiedades de homogeneidad y superposición.
La homogeneidad quiere decir que cuando la entrada de un sistema dado es modificada por un valor, la salida del sistemavaría en la misma proporción. La propiedad de superposición se cumple cuando la señal a la salida del sistema es igual a la suma de las salidas generadas por diferentes señales en la entrada.
La prueba de linealidad se realiza empleando tres señales de entrada U1, U2 y U3 tal y como se muestra en la Figura No. 3.
[pic]
Figura No. 3. Pruebas de linealidad
Las graficas de la Figura No.4., corresponden a la respuesta del sistema ante una entrada paso de una unidad.
[pic]
Figura No. 4. Respuesta del sistema
La grafica superior corresponde a la respuesta del sistema ante la entrada U1, la grafica del medio la respuesta ante la entrada U2 y la grafica inferior la respuesta ante la entrada U3. En este caso Y2 no equivale a 2Y1 lo que indica que no se cumple con la propiedad de...
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