Analisis De Sistemas Dinamios

Tarea 2: Vibraciones Libres
y forzadas.

Nombre: Franco Pérez Montt
Asignatura: Análisis de sistemas Dinámicos.
Profesor: Edgar Estupiñan.

ESQUEMA DEL PROBLEMA
Sistema a analizar:

La figura muestra el ensayo a realizar. Viga articulada en 0 y apoyada en 2 en un resorte. Tiene incorporado un motor de velocidad variable 1 y un sensor de vibraciones en 3. El motor tiene una masadesbalanceada m0a una distancia r0.

Datos.

M=masa motor=5.522Kg.
mb=masa barra=1.9Kg.
mr=masa del resorte.
ms=masa del sensor de vibraciones=517 grs.
K=3960 N/m.
L1=47.7 cm.
L2=66 cm.
L3=75 cm.
b=1.28 cm.
a=2.56 cm.
mo=masa desbalanceada del rotor = 27.8 grs.
Ro=3,75 cm.
ξ=0.0728

1.1. Escriba la ecuación del movimiento usando y(t) (desplazamiento vibratorio del punto 3)como coordenada.

1.2. Vibraciones libres: Grafique las oscilaciones libres (unos 10 ciclos) de y(t) captado por el sensor si al sistema se le da un desplazamiento inicial y(0) =2 mm. De este grafico determine el decremento logarítmico δ (use la amplitud del ciclo 1 y la del ciclo 10), y de ahí el factor de amortiguamiento ξ. Compare este valor con el obtenido de la definición de ξ.1.3. Vibraciones forzadas:
i) Grafique a partir de la ecuación del movimiento: Yo y ϕ (amplitud estacionaria y desfase) en función de Ω (para Ω variando de 0 a 1000 cpm.).
ii) Grafique Vo (módulo de velocidad)(fase de velocidad) en función de Ω.

1.4. Grafique la respuesta total y(t) (estacionaria + transiente) para Ω=300 cpm. Comente la forma de la curva.


Solución DelProblema
1. Ecuación de Movimiento:
Diagrama de cuerpo libre

Las fuerzas de peso producidas por el sensor, el motor y el resorte son ignoradas debido a que son muy pequeñas en comparación a las otras fuerzas actuantes sobre el sistema.
Se determina la ecuación de movimiento, usando el método de Newton y Euler.
Usando la fórmula de Euler:
M0=I0θ
Donde, en el momento de inerciaconsideramos la barra, el peso del motor y del sensor modelados como Inercias producidas por cargas puntuales.
I0=13mbl32+Ml12+msl32
Usando la fórmula de Newton se buscan las fuerzas presentes en el sistema, estas son:
Fm=F0sinΩt=m0Ω2r0sinΩt (fuerza cíclica producida por el motor)
FR=ky2=kl2 θ (fuerza de recuperación producida por el resorte)

A través de éstas se realiza la sumatoria demomentos y se obtiene:
Fml1-FRl2 =I0θ
Se reemplazan las fuerzas y se obtiene:
13mbl32+Ml12+msl32θ=m0Ω2r0sinΩtl1-( kl2 θ) l2
Se sabe que:
y3=l3 θ ⇒ θ=y3l3 ⇒θ=y3l3⇒θ =y3l3 Luego se tiene que:
13mbl32+Ml12+msl32y3l3=m0Ω2r0sinΩtl1- kl22l3y3
13mbl32+Ml12+msl32l3y3+ kl22l3y3=m0Ω2r0l1sinΩt
(M*)y3+ (K*)y3=(A*)sinΩt
Mediante la introducción de los valores numéricos se tiene:
M*=13mbl3+Ml12l3+msl3
13*1,9*0,75+5,522(0,477)20,75+0,517*0,75=2,538
K*= kl22l3=3960*(0,66)20,75=2299,968
A*=m0Ω2r0l1=0,0278*0,0375*0,477Ω2=4,973x10-4Ω2
La frecuencia natural del sistema se obtiene cuando la Fuerza oscilante es inexistente por lo que A*sinΩt=0 esto lleva a:
ωn=K*M*=30,103 rads
Luego para obtener el coeficiente de amortiguamiento, se utiliza el valor del coeficiente de amortiguamientocrítico(CC) y el factor de amortiguamiento(ξ)
ξ=CCC

Dónde:
CC=2*M*ωn=2*2,538*30,103=152,803
Entonces:
C=CCξ=152,803*0,0728=11,124 kgrads
A partir de lo anterior la ecuación que define el comportamiento del sistema es:

M*ÿ3+Cy3 +K*y3=F0*sinΩt
Como en este caso ξ<1la solución de la ecuación diferencial es:
1.1 yt=Solución transiente+solución permanente oestacionaria
yt=A0e-ξωntsinωdt+φd+Y0sin(Ωt-ϕ)
A0e-ξωntsinωdt+φd es la solución transiente (sol. Homogénea)
Y0sin(Ωt-ϕ) es la solución permanente o estacionaria (sol. Particular)
A0= y02+y0+ξωny02ωd2
φd=arctanωdy0y0 +ξωny0
Y0=F0*K*1-Ωωn2 2+2ξΩωn 2

ϕ=arctan2ξΩωn 1-Ωωn 2

2.2 Vibraciones Libres:
Para que la vibración sea libre, la fuerza oscilante permanente producida por el motor...